Page 34 - RMGO 2

Extinderi ale unei inegalit˘ati de tip Nesbitt
,

Marin CHIRCIU 1

ˆ In [1] este propus˘a urm˘atoarea problem˘a:

IX.264. Ar˘atat , i c˘a dac˘a a, b, c > 0 s , i abc = 1, atunci:
a b c 3
+ + ≥ .
2
2
2
2
2
2
c (ca + b ) a (ab + c ) b (bc + a ) 2
D.M. B˘atinet ,u-Giurgiu, Bucures , ti
Prezent˘am urm˘atoarele extinderi ale inegalit˘at , ii de mai sus:
Extinderea 1. Ar˘atat ,i c˘a dac˘a a, b, c, n > 0 s , i abc = 1, atunci:
a b c 3
+ + ≥ .
2
2
2
2
2
2
c (ca + nb ) a (ab + nc ) b (bc + na ) n + 1
Extinderea 2. Ar˘atat ,i c˘a dac˘a a, b, c, m > 0 s , i abc = 1, atunci:
a b c 3
+ + ≥ .
2
2
2
2
2
2
c (mca + b ) a (mab + c ) b (mbc + a ) m + 1
Extinderea 3. Ar˘atat ,i c˘a dac˘a a, b, c, m, n > 0 s , i abc = 1, atunci:
a b c 3
+ + ≥ .
2
2
2
2
2
2
c (mca + nb ) a (mab + nc ) b (mbc + na ) m + n
Demonstr˘am ˆın continuare ultima extindere, celelalte dou˘a fiind cazuri particu-
lare ale acesteia.
Not˘am M s s , i M d membrul stˆang s , i respectiv membrul drept al inegalit˘at , ii.
Exist˘a x, y, z > 0 astfel ˆıncˆat
x y z
a = , b = , c =
y z x
(de exemplu, x = abz, y = bz, z > 0 arbitrar). Obt , inem:
x y z
y z x
M s = + +
z 2 2 m · z + n · y 2 x 2 2 m · x + n · z 2 y 2 2 m · y + n · x 2
x y z 2 y z x 2 z x y 2
x 3 y 3 z 3 (1) 3
= + + ≥ = M d ,
3
3
3
mz + ny 3 mx + nz 3 my + nx 3 m + n
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
34