Page 31 - RMGO 2

Aplicat , ii ale unei propriet˘at , i a cercului adjunct unui triunghi 31

B

M
S

N

A D C

Figura 8
¯

Solut ,ie. Construim ˆın˘alt , imea BD s , i cercul adjunct CB (vezi Figura 8).
◦
◦
M˘asura unghiului A este de 50 , deci m (^ABD) = 40 . Cum m (^ABM) =
◦
20 , rezult˘a c˘a BM este bisectoarea unghiului ABD.
Not˘am cu N al doilea punct de intersect , ie al cercului adjunct cu BD s , i
◦
cu S intersect , ia dreptelor BD s , i CM. Deoarece m (^AMC) = 110 , avem
◦
m (^AMS) = 90 + m(^ABS) , de unde rezult˘a c˘a M este centrul cercului ˆınscris
2
ˆın triunghiul ABS. Atunci (AM este bisectoarea ^BAS, deci m (^MAS) = 10 ◦
◦
◦
s , i prin urmare m (^SAC) = 30 . Din m (^SAC) = m (^SCA) = 30 rezult˘a c˘a
SA = SC, deci triunghiul ASC este isoscel. Cum SD⊥AC, rezult˘a c˘a D este
mijlocul lui [AC], deci triunghiul ABC este isoscel. Atunci m (^A) = m (^C) =
◦
◦
◦
50 s , i m (^ABC) = 80 . Obt , inem imediat c˘a m (^MBC) = 60 .
Observat ,ia 5. Din Consecint , a 2 rezult˘a c˘a punctul N este centrul cercului circum-
scris triunghiului ABC.
ˆ
◦
◦
Aplicat , ia 5. In triunghiul ABC, m (^A) = 70 s , i m (^C) = 50 . Punctul M
◦
◦
este ˆın interiorul triunghiului ABC, m (^MBA) = 20 s , i m (^MAC) = 30 .
Demonstrat ,i c˘a BM⊥AC. (Ion P˘atras , cu)
B

M O

A N C

Figura 9

◦
Solut ,ie. Observ˘am c˘a m (^MAB) = m (^MBC) = 40 , prin urmare cercul
¯

circumscris triunghiului ABM este chiar cercul adjunct AB (vezi Figura 9).