Page 27 - RMGO 2

Aplicat , ii ale unei propriet˘at , i a cercului adjunct unui triunghi 27

Lema 2 (Reciproca Lemei 1). Dac˘a ˆın triunghiul ABC cu m (^C) 6= 90 ◦
diametrul determinat de B ˆın cercul circumscris triunghiului intersecteaz˘a a doua
¯

oar˘a cercul adjunct BA ˆın punctul M, atunci AM este ˆın˘alt ,ime ˆın triunghiul
ABC.
M
C’

A

O
D
C

B

Figura 3

◦
Demonstrat¸ie. Consider˘am triunghiul ABC cu m (^C) > 90 (vezi Figura 3). Fie
0
0
C un punct pe (CA, A ˆıntre C s , i C s , i O centrul cercului circumscris triunghiului
ABC. Avem
0
^ABM ≡ ^MAC , (5)

0
^MAC ≡ ^CAD, (6)
unde {D} = MA ∩ BC.

Cum OB = OA, rezult˘a

^OBA ≡ ^OAB. (7)

Din relat , iile (5), (6), (7) obt , inem c˘a:

^OAB ≡ ^CAD.
◦
Dar m (^AOB) = 360 − 2m (^ACB), deci
◦
m (^CAD) = m (^OAB) = m (^ACB) − 90 .
◦
Obt , inem c˘a m (^CAD) = 90 , deci AM⊥BC.
◦
Proprietatea se demonstreaz˘a ˆın acelas , i mod dac˘a m (^C) < 90 .
¯

Consecint , a 1. Dac˘a ABC este un triunghi ˆın care cercurile adjuncte BA s , i
¯

CA intersecteaz˘a a doua oar˘a ˆın˘alt ,imea din A ˆın punctele E respectiv F, atunci
dreptele BE s , i CF sunt concurente ˆın centrul O al cercului circumscris triunghiului
ABC.