Page 28 - RMGO 2

˘
28 Ion PATRAS , CU

Demonstrat , ia rezult˘a imediat aplicˆand Lema 1.
¯
¯

Observat ,ia 2. Cercurile BA s , i CA se numesc cercuri adjuncte gemene.
Ele se intersecteaz˘a a doua oar˘a ˆıntr-un punct ce apart , ine simedianei din A a
triunghiului ABC. Simediana este izogonala medianei ˆıntr-un triunghi.
Consecint , a 2. Dac˘a ABC este un triunghi isoscel, AB = AC, atunci cercurile
¯
¯

adjuncte BA s , i CA se intersecteaz˘a a doua oar˘a ˆın centrul cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrat , ia rezult˘a din Consecint , a 1 s , i din faptul c˘a centrul cercului circum-
scris triunghiului ABC este situat pe ˆın˘alt , imea din vˆarful A.
ˆ
¯
¯

Observat ,ia 3. In leg˘atur˘a cu cercurile adjuncte AB s , i AC , este adev˘arat˘a
¯
¯

urm˘atoarea propozit , ie: Cercurile adjuncte AB s , i AC ale triunghiului ABC se
intersecteaz˘a a doua oar˘a ˆıntr-un punct ce apart , ine medianei din A (vezi [3]).
Consecint , a 3. Dac˘a ABC este un triunghi isoscel, AB = AC s , i O este centrul
¯

cercului s˘au circumscris, atunci cercul adjunct BA al triunghiului ABC coincide
cu cercul circumscris triunghiului ABO.
Demonstrat , ia rezult˘a imediat din Consecint , a 2.
Consecint , a 4. Dac˘a ABC este un triunghi isoscel, AB = AC, atunci cercul
¯

adjunct AB cont ,ine ortocentrul triunghiului.
¯

Demonstrat¸ie. Aplic˘am Lema 1 pentru cercul adjunct AB rezult˘a c˘a acesta
intersecteaz˘a ˆın˘alt , imea din B a triunghiului ˆıntr-un punct ce se afl˘a pe diametrul
determinat de A ˆın cercul circumscris triunghiului ABC. Acest diametru cont , ine
ˆın˘alt , imea din A a triunghiului. Deci punctul de concurent , ˘a a ˆın˘alt , imii din B s , i a
¯

ˆın˘alt , imii din A, ortocentrul triunghiului ABC, este pe cercul adjunct AB .
Observat ,ia 4. Dac˘a ABC este triunghi isoscel, AB = AC, atunci cercurile sale
¯
¯

adjuncte AB s , i AC se intersecteaz˘a a doua oar˘a ˆın ortocentrul triunghiului.
Aplicat , ii

ˆ
¯

Aplicat , ia 1. Intr-un triunghi ABC cercul adjunct BA trece prin centrul cercului
circumscris triunghiului. Demonstrat ,i c˘a AB = AC. (Ion P˘atras , cu)
Solut ,ie. Consider˘am ABC triunghi ascut , itunghic (vezi Figura 4). Dac˘a O, centrul
¯

cercului s˘au circumscris, apart , ine cercului adjunct BA , avem
^ABO ≡ ^OAC. (8)