Page 23 - RMGO 2

Condit , ii ca un segment s˘a fie linie mijlocie ˆıntr-un triunghi 23

Folosind teorema cosinusului C(N, ρ) ∩ (AB) = {M 1 } revine la
2
2
AB + BC − AC 2
2
2
2
AB ≤ 2AB · BC · ⇔ AC ≤ BC .
2AB · BC
ˆ In definitiv ˆın aceast˘a situat , ie enunt , urile (i) ¸si (ii)(b) sunt echivalente.
Dac˘a = −1 (deci δ = −1) condit , ia M 2 /∈ (AB) revine la aceias , i inegalitate ca
mai sus.
Cazul 2β. Pentru δ = −1, ceea ce corespunde situat , iei ˆın care unghiul din B
al triunghiului ABC este obtuz, echivalent cu a spune c˘a punctele A s , i N sunt ˆın
semiplane diferite determinate de axa Oy, fie = −1 (Figura 2.4’).

Figura 2.4’

ˆ
Proprietatea C(N, ρ) ∩ (AB) = {M 1 } revine la condit , ia M 2 /∈ (AB). In acest
2ρa
= 2 . Atunci
a +h
caz x A < 0 < x M 2 2
2
2
≤ y B ⇔ a + h ≤ 2aρ.
M 2 /∈ (AB) ⇔ x B ≤ x M 2 sau y M 2
0
Folosind din nou relat , iile (2.1), egalitatea A B = −AB cos B s , i teorema lui
Pitagora, inegalitatea ultim˘a devine
0
0
0
2
2
2
2
AB = A A + A B ≤ 2BC · A B ⇔ AB ≤ −2AB · BC cos B.
Din teorema cosinusului, ultima inegalitate este echivalent˘a cu
2
2
AC − AB − BC 2 2 2 2
2
AB ≤ 2AB · BC ⇔ 2AB + BC ≤ AC ,
2AB · BC
deci
2
2
2
C(N, ρ) ∩ (AB) = {M 1 } ⇔ 2AB + BC ≤ AC .
Prin urmare, ˆın acest caz, afirmat , ia (i) este echivalent˘a cu (ii)(c).
Luˆand = +1, ca s , i mai sus, se ajunge la aceeas , i inegalitate.