Page 18 - RMGO 2

18 Corneliu UDREA s , i Marian HAIDUCU

1 0 0 00 1 0
AA = A A ≤ BN ≤ M 1 N = BC ⇒ AA ≤ BC.
2 2

Observat ,ia 5. (i) Us , or de remarcat c˘a dac˘a ˆın triunghiul ABC este verificat˘a
2
2
2
inegalitatea strict˘a (adic˘a 2AB + BC < AC ), atunci
0
BN < M 1 N s , i AA < BC.
(ii) (a) Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Exist˘a un triunghi ABC
2
2
2
astfel ˆıncˆat a = BC, b = AC s , i c = AB s , i 2AB + BC ≤ AC (respectiv
2
2
2
2
2
2
2
2AB + BC < AC ) dac˘a s , i numai dac˘a 2c + a ≤ b < (a + c) (respectiv
√
2
2
2
2
2
2
2c + a < b < (a + c) ), ceea ce este totuna cu a spune c˘a b ∈ [ a + 2c , a + c)
√
2
2
(respectiv b ∈ ( a + 2c , a + c)) s , i c < 2a.
(b) Remarca stabilit˘a ˆın (a) arat˘a c˘a exist˘a triunghiuri ABC care ˆındeplinesc
ipotezele lemei anterioare; spre exemplu luˆand segmentele de lungime a = 2, c = 2
√ √
s , i b = 12 (respectiv b = 13) exist˘a un triunghi ABC ˆın care BC = 2, AB = 2
√
√
2
2
2
s , i AC = 12 (respectiv AC = 13) ˆın care 2AB + BC = 12 = AC (respectiv
2
2
2
2AB + BC = 12 < 13 = AC ).
ˆ
(c) In general, ˆın situat , ia ˆın care a, c ∈ (0, ∞) s , i c < 2a se obt , ine c ∈ (0, 1)
2a
¸si construind segmentele AB = c s , i BC = a astfel ˆıncˆat unghiul dintre ele (notat
B) s˘a ˆındeplineasc˘a condit¸ia cos B = − c (respectiv cos B < − c ) din teorema
2a 2a
2
2
2
2
2
2
cosinusului rezult˘a 2AB + BC = AC (respectiv 2AB + BC < AC ).
ˆ
Teorema 1. In condit ,iile fixate anterior, urm˘atoarele afirmat ,ii sunt echivalente.
(i) Dreptele MN s , i BC sunt paralele (adic˘a este adev˘arat˘a afirmat ,ia notat˘a
(1.1)).
(ii) Triunghiul ABC verific˘a una din urm˘atoarele propriet˘at ,i. (a) Triunghiul
ABC este dreptunghic ˆın B. (b) Are loc inegalitatea AC ≤ BC. (c) Este verificat˘a
2
2
2
relat ,ia 2AB + BC ≤ AC .
Observat ,ia 6. Se constat˘a us , or c˘a un triunghi care verific˘a una din propriet˘at , ile
din punctul (ii) al teoremei precedente este dreptunghic ˆın B (ˆın cazul (a)), are
unghiul din B ascut , it (ˆın cazul (b)), respectiv obtuz (ˆın cazul (c)). Prin urmare
triunghiul ABC poate verifica cel mult una din propriet˘at , ile enunt , ate.
Demonstrat¸ie. Demonstrat , ie sintetic˘a a Teoremei 1.
(i)⇒(ii). Conform ipotezei anunt , ate s , i remarcelor anterioare, punctul M coincide
cu M 1 . Ca mai ˆınainte fie M 2 6= M 1 astfel ˆıncˆat
{M 1 } ⊆ AB ∩ C(N, ρ) ⊆ {M 1 , M 2 }.
Cazul 1. Dac˘a AB∩C(N, ρ) = {M 1 } = {M}, atunci AB este tangent˘a la cercul
C(N, ρ) ˆın punctul M = M 1 (Figura 2.2) s , i M 1 N k BC. Prin urmare unghiul din
B este drept.