Page 17 - RMGO 2

Condit , ii ca un segment s˘a fie linie mijlocie ˆıntr-un triunghi 17

teorema cosinusului, respectiv formula medianei, s , i anume
2
2
AB + AC − BC 2
cos A = ,
2AB · AC
unde cos A este cosinusul unghiului BAC al triunghiului ABC, respectiv
\
2
2
2(BA + BC ) − AC 2
2
BN = .
4
(iii) Util˘a va fi s , i observat , ia cont , inut˘a ˆın lema urm˘atoare.
Lema 1. Dac˘a ˆın triunghiul ABC este ˆındeplinit˘a relat ,ia

2
2
2AB + BC ≤ AC 2
0
s , i A ∈ BC este piciorul ˆın˘alt ,imii dus˘a din A ˆın triunghiul ABC, atunci
0
AA ≤ BC.

Demonstrat¸ie.

Figura 2.1

Folosind relat , ia asumat˘a ˆın ipoteza lemei se obt , in urm˘atoarele afirmat , ii:

2
2
(1) cos B = BA +BC −AC 2 ≤ − AB < 0, ceea ce, ˆın particular, ˆınseamn˘a c˘a
2BA·BC 2BC
unghiul B al triughiului ABC este obtuz;
2
2
1
2
(2) BN = 2(BA +BC )−AC 2 , NM 1 = BC s , i
4 2
2
2
BN ≤ M 1 N ⇔ 2(AB +BC )−AC 2 ≤ BC 2 .
4 4
2
2
2
Cum ultima relat , ie este echivalent˘a cu 2AB +BC ≤ AC (adev˘arat˘a conform
ipotezei) rezult˘a c˘a BN ≤ M 1 N.
0
00
Pe de alt˘a parte, dac˘a A este mijlocul segmentului (AA ) (a se vedea Figura
2.1), atunci
0
00
0
0
00
A N k A C, A A ⊥ A C s , i