Page 14 - RMGO 2

14 Corneliu UDREA s , i Marian HAIDUCU

ˆ
(ii) In contextul precizat mai sus se consider˘a urm˘atoarele propozit , ii logice:

p : ”N este mijlocul lui [AC]” , q : ”M este mijlocul lui [AB]”,

r : ”lungimea segmentului [MN] este jum˘atate din lungimea segmentului [BC]”

s : ”dreptele MN s , i BC sunt paralele”.

(iii) Teorema liniei mijlocii ˆıntr-un triunghi spune c˘a ”Orice linie mijlocie a
ˆ
unui triunghi este paralel˘a s , i jum˘atate din latura corespunz˘atoare”. In cadrul fixat
mai sus enunt , ul recapitulat anterior cap˘at˘a forma ”Dac˘a [MN] este linie mijlocie
ˆın triunghiul ABC, atunci MN s , i BC sunt paralele s , i [MN] este jum˘atate din
[BC]” ceea ce, sub forma unei propozit , ii logice (cu notat , iile fixate mai sus), se
reprezint˘a
”p ∧ q ⇒ r ∧ s”.

Se s , tie c˘a s , i reciproca teoremei enunt , ate (adic˘a ”Dac˘a MN s , i BC sunt paralele
s , i [MN] este jum˘atate din [BC], atunci [MN] este linie mijlocie ˆın triunghiul
ABC”) este adev˘arat˘a, adic˘a propozit , ia

”r ∧ s ⇒ p ∧ q”

ˆ
este adev˘arat˘a. In definitiv cele dou˘a enunt , uri sunt echivalente ceea ce se reprezint˘a
sub forma
”p ∧ q ⇔ r ∧ s”,

deci atˆat afirmat , ia direct˘a (”p ∧ q ⇒ r ∧ s”), cˆat s , i cea reciproc˘a (”r ∧ s ⇒ p ∧ q”)
sunt adev˘arate, ceea ce ˆıncheie discut , ia privind valorile de adev˘ar ale teoremei
directe s , i teoremei reciproce ˆın cazul ment , ionat mai sus.
Observat ,ia 2. (i) Subiectul propus mai sus pune ˆın evident , ˘a c˘a enunt , ul ”Dac˘a M
este mijlocul segmentului [AB] s , i N este pe [AC] astfel ˆıncˆat dreptele MN s , i BC
sunt paralele, atunci N este mijlocul segmentului [AC] s , i [MN] este jum˘atate din
[BC].” este o propozit , ie adev˘arat˘a, adic˘a propozit , ia logic˘a

”q ∧ s ⇒ p ∧ r”

este o propozit , ie adev˘arat˘a.
ˆ
(ii) In plus, cerint , a formulat˘a mai sus (ˆın propunerea de subiect amintit˘a mai
ˆınainte) se refer˘a la determinarea valorii de adev˘ar a reciprocei teoremei din (i) ¸si
anume ”Dac˘a N este mijlocul segmentului (AC) s , i [MN] este jum˘atate din [BC],
atunci M este mijlocul segmentului [AB] s , i dreptele MN s , i BC sunt paralele.”,
ceea ce formal este reprezentat de propozit , ia

”p ∧ r ⇒ q ∧ s”. (1.1)