Page 16 - RMGO 2

16 Corneliu UDREA s , i Marian HAIDUCU

Din condit ,iile impuse rezult˘a c˘a
1
M 1 N = BC = AN.
2

(a) Prin urmare pe segmentul [AB] se g˘asesc punctele M 1 ¸si A pentru care se
verific˘a afirmat ,iile din propozit ,ia ”p ∧ r” (adic˘a propozit ,ia ”p ∧ r” este adev˘arat˘a)
dar, din nou, pentru punctul A niciuna din propozit¸iile q sau s nu este adev˘arat˘a
(deci, pentru A, ”p ∧ r ⇒ q ∧ s” este fals˘a).
(b) Pe de alt˘a parte M 1 este singurul punct al segmentului (AB) pentru care
propozit ,ia ”p ∧ r” este adev˘arat˘a, caz ˆın care s , i propozit ,ia ”q ∧ s” este adev˘arat˘a s , i
deci propozit ,ia ”p ∧ r ⇒ q ∧ s” este adev˘arat˘a.
ˆ
(c) In definitiv, valoarea de adev˘ar a propozit ,iei notat˘a (1.1) depinde s , i de
pozit ,ia punctului M, dac˘a el este pe segmentul ˆınchis [AB] sau pe segmentul deschis
(AB).

Observat ,ia 3. Cont , inutul acestui articol este legat de valoarea de adev˘ar a propozit , iei
”p∧r ⇒ q ∧s” distingˆandu-se (f˘ar˘a prea multe dificult˘at , i) situat¸iile ˆın care punctul
M este un punct al segmentului (AB) sau [AB].

Lucrarea sintetizeaz˘a rezultate (probabil cunoscute) ce caracterizeaz˘a triun-
ghiurile ˆın care propozit , ia notat˘a (1.1) este adev˘arat˘a s , i se bizuie pe observat¸ia
c˘a verificarea afirmat , iilor din propozit , ia logic˘a q ∧ s este echivalent˘a cu s, deci cu
afirmat , ia c˘a M = M 1 .

2 Caracterizarea triunghiurilor ˆın care afirmat , ia (1.1) este adev˘arat˘a

Datele fixate anterior sunt ˆın continuare aceleas , i s , i anume: ABC este un triunghi
propriu s , i punctele N, respectiv M, sunt pe segmentele (AC), respectiv (AB) astfel
1
ˆıncˆat N este mijlocul segmentului (AC) s , i MN = BC. Se prezint˘a caracterizarea
2
triunghiurilor ABC ˆın care propozit , ia ”p ∧ r ⇒ q ∧ s” este adev˘arat˘a, suficient
g˘asirea acelor triunghiuri ˆındeplinind condit , iile fixate pentru care M este mijlocul
segmentului (AB) sau MN s , i BC sunt paralele.
Observat ,ia 4. (i) Notat , iilor fixate anterior li se adaug˘a urm˘atoarele:
1
(a) M 1 este mijlocul segmentului (AB) s , i ρ := BC = MN = M 1 N;
2
(b) pentru un punct P din plan s , i l ∈ (0, ∞), C(P, l) noteaz˘a cercul de centru
P s , i raz˘a l (adic˘a C(P, l) := {Q : PQ = l}) ˆın raport cu care se disting mult , imile
plane Int C(P, l), respectiv Ext C(P, l), punctele din plan interioare, respectiv
exterioare cercului C(P, l), adic˘a mult¸imile {Q : PQ < l}, respectiv {Q : PQ > l}.
ˆ
(ii) In lucrare sunt folosite rezultate elementare de geometrie plan˘a (cum ar fi
cele legate de pozit , ia unei drepte fat , ˘a de un cerc) dintre care sunt reamintite aici