Page 21 - RMGO 2

Condit , ii ca un segment s˘a fie linie mijlocie ˆıntr-un triunghi 21

Observat ,ia 7. Verificarea inegalit˘at , ilor stricte ˆın condit , iile (b), respectiv (c) din
punctul (ii) al Teoremei 1 duce la un enunt , similar cu acela din teorema citat˘a
dac˘a punctul M din ipotez˘a se consider˘a pe segmentul ˆınchis [AB].

Demonstrat¸ie. Demonstrat , ie analitic˘a a Teoremei 1.

ˆ
Notat , iile fixate s , i condit , iile impuse anterior sunt ˆın continuare folosite. In plus
se alege sistemul ortogonal de axe xOy astfel ˆıncˆat O = M 1 , Ox = M 1 N s , i punctul
A s˘a fie situat ˆın semiplanul superior determinat de axa Ox(adic˘a y A > 0). T , inˆand
cont de relat , iile (datele) fixate ˆın ipoteza Teoremei 1, punctele considerate sunt

0
A( a, h), N(δρ, 0), B(− a, −h), C(2δρ − a, −h) s , i A ( a, −h),
0
unde A este piciorul ˆın˘alt¸imii triunghiului ABC dus˘a din A, a ∈ [0, ∞), h ∈ (0, ∞)
s , i , δ ∈ {−1, 1}.

Se reamintes , te c˘a

1 1
ρ = MN = M 1 N = BC s , i AN = AC.
2 2

Cazul 1. Se presupune c˘a C(N, ρ) ∩ AB = {M 1 }. (Figura 2.2’)

Figura 2.2’

Evident condit , ia impus˘a este echivalent˘a cu proprietatea dreptei AB de a fi
tangenta cercului C(N, ρ) ˆın punctul M 1 = O (deci AB = Oy) ceea ce este totuna
cu a spune c˘a unghiul din B al triunghiului ABC este un unghi drept.
Prin urmare, ˆın acest caz, afirmat , ia (i) este echivalent˘a cu (ii)(a).