Page 26 - RMGO 2

˘
26 Ion PATRAS , CU

Definit , ia 3. Dou˘a ceviene ale unui triunghi care sunt simetrice ˆın raport cu
bisectoarea interioar˘a a triunghiului cu care au vˆarful comun se numesc ceviene
izogonale.
ˆ
Propozit , ia 1. Intr-un triunghi dat ˆın˘alt ,imea s , i raza cercului circumscris deter-
minat˘a de vˆarful ˆın˘alt ,imii sunt ceviene izogonale.

Demonstrat , ia acestei propozit , ii ca s , i a reciprocelor ei o l˘as˘am ca exercit , iu pe
seama cititorului.

¯
◦

Lema 1. Fie ABC un triunghi cu m (^C) 6= 90 . Cercul adjunct BA inter-
secteaz˘a a doua oar˘a ˆın˘alt ,imea din A a triunghiului ˆıntr-un punct ce apart ,ine
diametrului determinat de vˆarful B ˆın cercul circumscris triunghiului.
A

O
C
E

D
B

Figura 2

Demonstrat¸ie. Consider˘am ABC triunghi ascut , itunghic. Not˘am cu E al doilea
¯

punct de intersect , ie a cercului adjunct BA cu ˆın˘alt , imea AD a triunghiului ABC
(vezi Figura 2). Avem
^ABE ≡ ^DAC. (1)
Fie O centrul cercului circumscris triunhiului ABC. Conform Propozit , iei 1, avem:

^BAO ≡ ^DAC. (2)

Relat , iile (1) s , i (2) conduc la:

^ABE ≡ ^BAO. (3)

Dar OA = OB, ca raze, s , i
^ABO ≡ ^BAO. (4)

Obt , inem astfel, din relat , iile (3) s , i (4) s , i din faptul c˘a O esteˆın interiorul triunghiului
ABC, ca s , i punctul E, c˘a O apart , ine dreptei BE, deci E apart , ine diametrului
dus prin B ˆın cercul circumscris.

Proprietatea se demonstreaz˘a ˆın acelas , i mod dac˘a triunghiul ABC este obtuz-
unghic.