Page 30 - RMGO 2

˘
30 Ion PATRAS , CU

Dar ^BHA ≡ ^BCA (unghiuri cu laturi respectiv perpendiculare). Relat , iile
precedente conduc la ^ABC ≡ ^BCA, deci AB = AC.

H

A
C

B

Figura 6
ˆ
◦
◦
Aplicat , ia 3. In triunghiul ABC, m (^B) = 80 m (^C) = 30 . Punctul M este
◦
◦
ˆın interiorul triunghiului ABC astfel ca m (^MCA) = 10 s , i m (^MBA) = 20 .
Ar˘atat ,i c˘a (AM este bisectoarea unghiului BMC.
O.J.M. 2018, clasa a VII-a
B

M
O

A C

Figura 7
◦
◦
Solut ,ie. Deoarece m (^A) = 70 s , i m (^MBA) = 20 rezult˘a c˘a BM esteˆın˘alt , imea
◦
din B a triunghiului ABC. Avˆand m (^ABM) = m (^MCB) = 20 , rezult˘a c˘a
¯

cercul circumscris triunghiului MBC este cercul adjunct CB al triunghiului
ABC (vezi Figura 7). Aplicˆand Lema 1 obt , inem c˘a O, centrul cercului circumscris
triunghiului ABC, apart , ine dreptei CM.
◦
Deoarece m (^ABO) = 60 s , i OB = OA, triunghiul OAB este echilateral.
◦
Observ˘am c˘a m (^MBO) = m (^MOB) = 40 , deci MB = MO.
Relat , iile AB = AO s , i MB = MO arat˘a c˘a AM este mediatoarea segmentului
BO. Deoarece ea este mediatoare ˆın triunghiul isoscel BMO, avem c˘a ea este s , i
bisectoare, ceea ce ˆıncheie rezolvarea.
ˆ
Aplicat , ia 4. In triunghiul ABC, M este un punct interior astfel ca m (^MAB) =
◦
◦
◦
◦
10 , m (^MBA) = 20 , m (^MCA) = 30 s , i m (^MAC) = 40 . Determinat ,i
m˘asura unghiului MBC.
Berkeley Math Circle, Monthly Contest 4/2016