Page 35 - RMGO 2

Extinderi ale unei inegalit˘at , i de tip Nesbitt 35

unde (1) este adev˘arat˘a, deoarece notˆand
3
3
α = x , β = y , γ = z 3
avem
α β γ α 2 β 2 γ 2
+ + = + +
mγ + nβ mα + nγ mβ + nα mαγ + nαβ mαβ + nβγ mβγ + nαγ
(2) (α + β + γ) 2 (3) 3
≥ ≥ ,
(m + n)(αβ + βγ + γα) m + n

α 2 β 2 γ 2 (α + β + γ) 2
(2) este evident˘a din + + ≥ , pentru orice α, β, γ ∈ R s , i
u v t u + v + t
α β γ
u, v, t > 0, cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a = = , iar (3) este echivalent˘a
u v t
2
2
2
2
cu (α + β + γ) ≥ 3(αβ + βγ + γα), adic˘a cu (α − β) + (β − γ) + (γ − α) ≥ 0,
adev˘arat˘a, cu egalitate numai pentru α = β = γ.
Deducem c˘a are loc inegalitatea din enunt , , cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a
a = b = c = 1.
Not˘a. Pentru m = n = 1 se obt , ine problema ment , ionat˘a.

Bibliografie

[1] D.M. B˘atinet , u, Revista de Matematic˘a din Timis ,oara, Problema IX.264, nr. 2/2008.
[2] S , . Alexe, M. Chirciu, Algebr˘a clasa a IX-a, Editura Paralela 45, 2005.

[3] M. Chirciu, Matematic˘a, clasa a IX-a, Editura Tiparg, 2008.