Page 39 - RMGO 2

Rezolvarea unor ecuat , ii s , i sisteme de ecuat , ii folosind monotonia, . . . 39

x
x
Se obt , in ecuat , iile 2 + 2x − 8 = 0 s , i 2 = x + 1.
x
Pentru rezolvarea primeia consider˘am funct , ia g : R → R, g (x) = 2 + 2x − 8.
Conform P 1 funct , ia g este strict cresc˘atoare, deci conform P 4 obt , inem c˘a x = 2
este solut , ie unic˘a.

x
Conform P 8 ecuat , ia 2 = x + 1 are cel mult dou˘a solut , ii s , i astfel x = 0 s , i x = 1
sunt singurele sale solut , ii.
ˆ In concluzie, mult , imea solut , iilor sistemului dat este S = {(0, 0) , (1, 1) , (2, 2)}.

Aplicat , ia 7. S˘a se rezolve ˆın R × R sistemul
√
1 − 3 xy

√ = log x + log y

2
2
3 y .
2 = 2 · y − x − x − 5y + 6 + 4
 x+y y 2 2
Solut ,ie. Condit , ii de existent , ˘a: x > 0, y > 0. Prima ecuat , ie se poate rescrie ca:
√ r 1 1
3 3
x + log x = + log 2 .
2
y y
√
Consider˘am funct , ia f : (0; +∞) → R, f (t) = 3 t + log t. Conform P 1 funct , ia f
2

1
este strict cresc˘atoare s , i din P 5 ea este injectiv˘a. Conform P 6 , din f (x) = f
y
1
rezult˘a c˘a x = , deci xy = 1.
y
A doua ecuat , ie din enunt , se poate rescrie ca:
2
2
x
2 + x + x = 2 2−y + (2 − y) + 2 − y.
2
t
Fie funct , ia g : (0; +∞) → R, g (t) = 2 + t + t. Conform P 1 funct , ia g este strict
cresc˘atoare s , i din P 5 ea este injectiv˘a. Din g (x) = g (2 − y) conform P 6 rezult˘a c˘a
x = 2 − y, deci x + y = 2.

xy = 1
Obt , inem sistemul , cu solut , ia (1, 1).
x + y = 2
Aplicat , ia 8. S˘a se rezolve ecuat ,ia log (x − 1) + log (6 − x) = 1.
4
9
Solut ,ie. Condit , ii de existent , ˘a: x − 1 > 0, 6 − x > 0, deci x ∈ (1, 6). Efectuˆand
substitut , ia
log (x − 1) = t
9
rezult˘a c˘a t ∈ (−∞, log 5), iar ecuat , ia dat˘a devine:
9
t
9 + 4 1−t = 5.

t
t
t
ˆ Inmult , im ecuat , ia cu 4 s , i obt , inem 36 − 5 · 4 = −4.