Page 38 - RMGO 2

38 Mihai Florea DUMITRESCU

r
3 √ 8
Conform P 7 funct , ia g : − , +∞ → R, g(x) = 3 3x − 1 + 2 x + 1 este
8 3

3
x
o funct , ie concav˘a. Funct , ia h : − , +∞ → R, h(x) = 2 este o funct , ie strict
8
convex˘a. Aplic˘am P 8 s , i g˘asim solut , iile x = 0 s , i x = 3, deci solut , ia sistemului este
S = {(0, 0) , (3, 3)}.
2
Aplicat , ia 4. Rezolvat ,i ˆın R ecuat ,ia 2 x −x = 2 log x + x.
2
Solut ,ie. Condit , ia de existent , ˘a: x > 0. Ecuat , ia se poate scrie sub forma

2
2
x − x + 2 x −x = 2 log x + 2 2 log x . (2)
2
2
t
Consider˘am funct , ia f : R → R, f (t) = t + 2 . Conform P 1 funct , ia f este strict
2

cresc˘atoare s , i conform P 5 este injectiv˘a. Ecuat , ia (2) devine f x − x = f (2 log x)
2
2
s , i aplicˆand P 6 rezult˘a c˘a x −x = 2 log x. Pe intervalul (0, +∞) membrul stˆang al
2
ultimei ecuat , ii este funct , ie strict convex˘a, iar membrul drept este funct , ie concav˘a,
prin urmare conform P 8 ecuat , ia are cel mult dou˘a solut , ii. G˘asim solut , iile x = 1 s , i
x = 2.
2
Aplicat , ia 5. Rezolvat ,i ecuat ,ia x − x + 1 = 4 x−1 − log x.
2
Solut ,ie. Condit , ia de existent , ˘a: x > 0. Ecuat , ia se poate scrie sub forma
2

x + log x = 2 x−1 2 + log 2 x−1 ,
2
2
adic˘a f (x) = f 2 x−1 2
, unde f : (0, +∞) → R, f (x) = x + log x. Conform P 1
2
funct , ia f este strict cresc˘atoare, deci conform P 5 ea este injectiv˘a. Aplicˆand P 6
rezult˘a x = 2 x−1 . Membrul drept al ultimei ecuat , ii este o funct , ie strict convex˘a,
iar membrul stˆang o funct , ie concav˘a. Conform P 8 ecuat , ia are cel mult dou˘a solut , ii.
G˘asim solut , iile x = 1 s , i x = 2.
Aplicat , ia 6. Rezolvat ,i ˆın R × R sistemul
√ √
x y
x − 3 y + 2 = y − 3 x + 2
2
x
2 2x − (9 − y) · 2 + 8 + 6x − 2y = 0 .
Problema M 27, MATINF nr. 1/2018, Sorin Ulmeanu
√ √
x
y
Solut ,ie. Prima ecuat , ie a sistemului se mai poate scrie x + 3 x + 2 = y + 3 y + 2 ,
√
t
adic˘a f(x) = f(y), unde f : R → R, f (t) = t + 3 t + 2 . Conform P 1 funct , ia f
este strict cresc˘atoare, deci conform P 5 f este injectiv˘a. Rezult˘a c˘a x = y.
ˆ Inlocuind ˆın a doua ecuat , ie obt , inem 2 2x − (9 − x) · 2 + 8 + 6x − 2x = 0, care
2
x
se poate scrie sub forma:
x
x
(2 + 2x − 8) · (2 − x − 1) = 0.