Page 37 - RMGO 2

Rezolvarea unor ecuat , ii s , i sisteme de ecuat , ii folosind monotonia, . . . 37

0
Proprietatea 9. a) Dac˘a f : I → R este derivabil˘a pe I, f ≥ 0 pe I s , i nu exist˘a
0
niciun interval (a, b) ⊆ I cu a < b pe care f s˘a fie nul˘a, atunci f este strict
cresc˘atoare.
0
b) Dac˘a f : I → R este derivabil˘a pe I, f ≤ 0 pe I s , i nu exist˘a niciun interval
0
(a, b) ⊆ I cu a < b pe care f s˘a fie nul˘a, atunci f este strict descresc˘atoare.

Ne vom referi ˆın continuare la aceste propriet˘at , i utilizˆand prescurt˘arile P 1 , P 2 ,
. . . , respectiv P 9 .

Aplicat , ii

Aplicat , ia 1. Rezolvat ,i ecuat ,ia 4x + 1 = 3 −x − 3 log (x + 1) .
3
Solut ,ie. Condit , ia de existent , ˘a: x > −1. Utilizˆand P 3 , membrul stˆang este o funct , ie
strict cresc˘atoare, iar membrul drept o funct , ie strict descresc˘atoare. Conform P 4
rezult˘a c˘a ecuat , ia are cel mult o solut , ie. G˘asim solut , ia x = 0.
√
3
2
Aplicat , ia 2. Rezolvat ,i ecuat ,ia x + 3x − 6x − 5 = 3 10x + 7.
Solut ,ie. Ecuat , ia dat˘a este echivalent˘a cu
√
3
2
(x + 3x + 3x + 1) + (x + 1) = 10x + 7 + 3 10x + 7.
√
Consider˘am funct , ia f : R → R, f(x) = x + 3 x. Conform P 1 funct , ia f este
strict cresc˘atoare s , i aplicˆand P 5 rezult˘a c˘a f este injectiv˘a. Ecuat , ia se poate
3
3
scrie ca f((x + 1) ) = f(10x + 7). Din P 6 rezult˘a c˘a (x + 1) = 10x + 7, adic˘a
√ √
−5 + 13 −5 − 13
3
2
x + 3x − 7x − 6 = 0, avˆand solut , iile x 1 = 2, x 2 = , x 3 = .
2 2
 √ 8
 r
 3 3x − 1 + 2 x + 1 = 2 y

Aplicat , ia 3. Rezolvat ,i ˆın R × R sistemul r 3 .
 √ 8
3 x
 3y − 1 + 2 y + 1 = 2

3
3
Solut ,ie. Condit , ii de existent , ˘a: x, y ≥ − . Sc˘adem cele dou˘a ecuat , ii:
8
√ r 8 r 8
3 x p y
3
3x − 1 + 2 x + 1 + 2 = 3y − 1 + 2 y + 1 + 2 . (1)
3 3
r
3 √ 8

t
Conform P 1 funct , ia f : − , +∞ → R, f(t) = 3 3t − 1 + 2 t + 1 + 2 este
8 3
strict cresc˘atoare s , i, t , inˆand cont de P 5 , f este injectiv˘a. Din (1), conform P 6 rezult˘a
r
√ 8
ˆ
x
c˘a x = y. Inlocuim ˆın una din ecuat , iile sistemului: 3 3x − 1 + 2 x + 1 = 2 .
3