Page 32 - RMGO 2

˘
32 Ion PATRAS , CU

Not˘am cu O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Triunghiul fiind
◦
◦
ascut , itunghic, avem c˘a m (^AOC) = 120 , ceea ce implic˘a m (^OAC) = 30 , prin
◦
urmare M ∈ AO. De asemenea, observ˘am c˘a m (^OBC) = m (^MBA) = 20 , de
unde rezult˘a c˘a cevienele OB s , i BM sunt izogonale s , i cum OB este raz˘a, BM va
fi ˆın˘alt , ime ˆın triunghiul ABC.
◦
Aplicat , ia 6. Fie ABC un triunghi cu AB = AC s , i m (^A) = 80 . Fie punctul
◦
◦
M ˆın interiorul triunghiului astfel ca m (^MBC) = 30 s , i m (^MCB) = 10 .
Calculat ,i m (^AMC).
I. Saryguin
A

E

M
O

B D C

Figura 10
Solut ,ie. Triunghiul ABC fiind isoscel, centrul O al cercului s˘au circumscris se afl˘a
¯

la intersect , ia cercului adjunct CA cu ˆın˘alt , imea (AD) (vezi Figura 10).
◦
◦
Deoarece m (^BOC) = 2m (^A) = 160 , avem c˘a m (^OCB) = 10 s , i
astfel M ∈ CO. Unghiul MOB este exterior triunghiului OBC, prin urmare
◦
◦
m (^MOB) = 20 . Dar s , i m (^MBO) = 20 , deci MB = MO. Not˘am
{E} = BM ∩ AC. Observ˘am c˘a triunghiul ABE este isoscel, BA = BE. De ase-
◦
menea, triunghiul MEC este isoscel, deoarece m (^EMC) = m (^ECM) = 40 ,
deci ME = EC. Din AC = BE s , i relat , ia precedent˘a g˘asim c˘a AE = BM, prin
urmare AE = MO.
◦
Avem 4AMO ≡ 4MAE, deoarece m (^AOM) = m (^MEA) = 80 , AM
este latur˘a comun˘a s , i MO = AE. Obt , inem de aici c˘a OA = EM. Triunghiurile
AOC s , i MEC sunt isoscele, au OA = ME s , i unghiul din C comun, prin urmare
sunt congruente, deci AC = MC. Astfel triunghiul ACM este isoscel, de unde
◦
obt , inem c˘a m (^AMC) = 70 .
◦
◦
Aplicat , ia 7. Fie ABC un triunghi cu m (^A) = 70 s , i m (^B) = 65 . Con-
◦
sider˘am punctul M ˆın interiorul triunghiului astfel ca m (^MCB) = 20 s , i
◦
m (^MAB) = 25 . Cercul circumscris triunghiului AMC intersecteaz˘a a doua
oar˘a BC ˆın E. Demonstrat ,i c˘a centrul cercului circumscris triunghiului ABC este
intersect ,ia dreptelor AE s , i CM. (Ion P˘atras , cu)
¯

Solut ,ie. Cercul circumscris triunghiului AMC este cercul adjunct CA , deoarece
◦
m (^MCA) = m (^MAB) = 25 . Pe de alt˘a parte, avem AM⊥BC. Not˘am