Page 20 - RMGO 2

20 Corneliu UDREA s , i Marian HAIDUCU

Figura 2.4

ˆ In aceast˘a situat , ie A ∈ Ext C(N, ρ) s , i B ∈ Int C(N, ρ) ∪ {M 2 }. Din formula
medianei
2
2
2(AB + BC ) − AC 2 BC 2
BN ≤ ρ = M 1 N ⇔ ≤
4 4
2
2
2
s , i ultima inegalitate ˆınseamn˘a 2AB + BC ≤ AC , deci se verific˘a proprietatea
(ii)(c).
(ii)⇒(i) (a) Dac˘a triunghiul ABC este dreptunghic ˆın B (Figura 2.2), atunci
NM 1 ⊥ AB, deci AB este tangenta cercului C(N, ρ) ˆın punctul M 1 s , i
AB ∩ C(N, ρ) = {M 1 } ⇒ M = M 1 s , i MN k BC.

(b) Se consider˘a acum AC ≤ BC (ceea ce, ˆın particular, impune c˘a unghiul
ˆ
din B al triunghiului ABC este un unghi ascut , it). A se vedea Figura 2.3. In
ˆ
plus AN ≤ ρ, A ∈ C(N, ρ) ∪ Int C(N, ρ), prin urmare M 2 ∈ [M 1 A. In definitiv
M 2 /∈ (AB) s , i
M = M 1 , MN k BC.

(c) Se presupune acum ˆındeplinit˘a inegalitatea din (ii)(c); ˆın particular, dup˘a
ˆ
cum s-a mai observat, unghiul din B al triunghiului ABC este obtuz. In plus,
(Figura 2.4),
1 1
ρ = M 1 N = BC < AC = AN ⇒ A ∈ Ext C(N, ρ) s , i (MA] ⊂ Ext C(N, ρ).
2 2

Pe de alt˘a parte dup˘a cum s-a remarcat ˆın demonstrat¸ia implicat , iei (i)⇒(ii)
(Cazul 2β)
2
2
2
2
2
BN ≤ M 1 N ⇔ 2AB + BC ≤ AC ,
ˆ
deci BN ≤ M 1 N, (M 1 B) ⊂ Int C(N, ρ) s , i B ∈ (M 1 M 2 ]. In definitiv M 2 /∈ (AB),
ceea ce ˆınseamn˘a
M = M 1 s , i MN k BC.