Page 13 - RMGO 2

ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE
,

Conditii ca un segment s˘a fie linie mijlocie
,
ˆıntr-un triunghi

1
Corneliu UDREA s , i Marian HAIDUCU 2

1 Introducere

Punctul de plecare al acestor comentarii ˆıl constituie o propunere de subiect pentru
clasa a VII-a f˘acut˘a organizatorilor Concursului Nat , ional ,,Mathematika-Olt” edit , ia
2013, [8], propunere prezentat˘a ˆın continuare.

Se consider˘a urm˘atoarea afirmat ,ie reciproc˘a a teoremei liniei mijlocii ˆın tri-
unghi:
”Dac˘a ˆıntru-un triunghi ABC, M este mijlocul laturii [AB] s , i N ∈ [AC] astfel
1
ˆıncˆat MN = BC, atunci N este mijlocul laturii [AC].”
2
(a) Ar˘atat ,i c˘a aceast˘a afirmat ,ie reciproc˘a nu este ˆıntotdeauna adev˘arat˘a.
(b) Ce condit ,ii trebuie ad˘augate ˆın ipotez˘a pentru a face din afirmat ,ia dat˘a un
enunt , ˆıntotdeauna adev˘arat? Justificat ,i r˘aspunsul.
Comisia de elaborare a subiectelor a ret , inut din enunt , ul formulat primul
subpunct, justificarea fiind dat˘a de un contraexemplu reluat s , i completat ulterior
s , i ˆın acest articol.
Observat ,ia 1. Sunt fixate unele notat , ii folosite ˆın continuare s , i sunt reamintite
cˆateva propriet˘at , i uzuale.
(i) Se va considera un triunghi (propriu) ABC s , i dou˘a puncte M, respectiv N
ˆ
pe segmentele (AB), respectiv (AC). In cazul ˆın care M este mijlocul segmentului
(AB) s , i N este mijlocul segmentului (AC), segmentul [MN] se nume¸ste linie
mijlocie a triunghiului ABC (corespunz˘atoare laturii [BC]).
ˆ In general notat , iile folosite s , i reamintite aici sunt cele standard utilizate ˆın
manualele de geometrie [3], [2] s , i [7].

1
Prof. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, corneliu udrea@yahoo.com
2
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,Mihai Eminescu”, Pites , ti, marian.haiducu@yahoo.fr
13