Page 83 - RMGO 1

PROBLEME PROPUSE 83
PROBLEME PROPUSE

Clasa a V-a

MGO 1. Se consider˘a un s , ir format din 100 de cartonas , e albe s , i 100 de cartonas , e ros , ii.
S˘a se arate c˘a, pentru orice ordine a cartonas , elor, exist˘a 100 de cartonas , e consecutive care
sunt jum˘atate albe s , i jum˘atate ros , ii.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 2. Ar˘atat , i c˘a numerele N (k, n) = 444 . . . 4 777 . . . 7 333 . . . 3 sunt numere naturale
| {z } | {z } | {z }
k−cifre n−cifre k−cifre
∗
compuse, unde k, n ∈ N .
Costel Anghel, Slatina
MGO 3. Ar˘atat , i c˘a exist˘a 2017 numere naturale consecutive astfel ˆıncˆat niciunul dintre
ele nu este num˘ar prim. Generalizare.
Florea Badea, Scornices , ti
MGO 4. a) Ar˘atat , i c˘a 2 2400 + 3 1200 > 7 800 + 2.
b) Ar˘atat , i c˘a num˘arul A = 2 2400 + 3 1200 − 7 800 − 2 este multiplu de 14.
Daniela Nadia Taclit, Slatina
m
MGO 5. Ar˘atat , i c˘a num˘arul n = 17 , unde m este un num˘ar natural nenul, se poate
scrie ca o sum˘a de dou˘a p˘atrate perfecte.
* * *

Clasa a VI-a

MGO 6. Se consider˘a num˘arul a = 123 . . . 9101112 . . . 2017.
a) Cˆate cifre are num˘arul a?
b) Din num˘arul a se elimin˘a 6300 de cifre astfel ˆıncˆat num˘arul r˘amas s˘a fie cˆat mai
mare posibil. Determinat , i num˘arul r˘amas.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 7. S˘a se arate c˘a num˘arul N = 12345 00 . . . 0 6789 este divizibil cu 7.
| {z }
2017 ori
Costel Anghel, Slatina
MGO 8. Determinat , i cˆate numere naturale se pot scrie, ˆın baza 10, sub forma

x0y + y0x + x0x + x7.
Liviu Chirimbu, Bucures , ti