Page 84 - RMGO 1

84 PROBLEME PROPUSE
AM
MGO 9. Fie M ∈ [AB] astfel ˆıncˆat = k. Ar˘atat , i c˘a oricare ar fi punctul N ∈ [AB]
MB
avem
(k + 1)MN = |AN − kBN| .

George Mihai, Slatina

MGO 10. Fie ABC un triunghi echilateral. Ar˘atat , i c˘a ˆın planul acestui triunghi exist˘a
un unic punct S astfel ˆıncˆat ^ASB ≡ ^BSC ≡ ^CSA.

* * *

Clasa a VII-a

3
2
2
3
2
2
3
2
2
MGO 11. Se consider˘a suma S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + 2016 · 2017 · 2018 .
S
S˘a se arate c˘a S se divide cu 72, iar num˘arul este un p˘atrat perfect.
72
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 12. Se consider˘a un p˘atrat ABCD s , i punctele M ∈ [AB] s , i N ∈ [AD] astfel ˆıncˆat
◦
m (^MCN) = 45 . S˘a se arate c˘a:
a) MN = MB + ND.

MB ND
b) 1 + 1 + = 2.
AB AD
Costel Anghel, Slatina
2
2
MGO 13. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor ˆıntregi ecuat , ia 3x − 22xy + 24y = 17.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 14. S˘a se determine num˘arul elementelor mult , imii
2

A = n − n + 4 n ∈ N, n ≤ 2017 .
2
n + 1
Valentin R˘adulescu, Scornices , ti
MGO 15. Fie M un punct ˆın interiorul triunghiului echilateral ABC. Dac˘a P, Q s , i R
sunt picioarele perpendicularelor duse din M pe [AB], [BC] respectiv [AC], ar˘atat , i c˘a:
2
2
2
2
2
2
a) AP + BQ + CR = BP + CQ + AR .
b) AP · BQ + AP · CR + BQ · CR = BP · CQ + BP · AR + CQ · AR.
* * *