Page 81 - RMGO 1

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘a 81

a) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este strict cresc˘atoare s , i convex˘a, iar
orice primitiv˘a a funct , iei g este strict cresc˘atoare s , i concav˘a.
b) Calculat , i aria suprafet , ei plane delimitate de graficele funct , iilor f s , i g.
π π
√
π
e − 1 2 Z x
2 Z
x
c) Demonstrat , i c˘a e g(x) dx < < e f(x) dx.
2
0 0
Testul 5

SUBIECTUL I

2
3
1. Calculat , i partea imaginar˘a a num˘arului complex z = i + 2i + 3i + . . . + 100i 100 .
2
2. Determinat , i num˘arul m ∈ R, s , tiind c˘a ecuat , ia (1 − m)x + (m − 2)x + 1 − m = 0
are dou˘a solut , ii distincte ˆın intervalul [−2, +∞).
√ √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 3 1 − x + x + 2 = 1.
12
12
89
4. Calculat , i C 102 − C 101 − C 90 − C 100 .
100
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(3, 4) s , i B(8, 14). Determinat , i coor-
donatele punctelor C s , i D, s , tiind c˘a C ∈ (AB), D ∈ AB \ (AB),
CA DA 2
= = .
CB DB 3
√ √
6. Rezolvat , i ˆın mult , imea [−3π, 3π) ecuat , ia 3 sin x − 3 cos x = 6.
SUBIECTUL al II-lea

x + 3 x − 1
1. Se consider˘a matricea A(x) = , unde x ∈ R.
x + 1 x + 5
a) Determinat , i valorile lui x pentru care matricea A(x) este inversabil˘a.
b) Demonstrat , i c˘a exist˘a dou˘a numere naturale nenule p s , i q astfelˆıncˆat pentru orice

numere reale x s , i y au loc egalit˘at , ile det (A(x) · A(y)) = p det(A(x))·det(A(y))

s , i det (A(x) + A(y)) = q det(A(x)) + det(A(y)) .
10
c) Calculat , i (A(−1)) 10 + (A(0)) .
ˆ
2
2
2
n
2. In Z 2 [X] se consider˘a polinoamele g = X + 1, h = X + X s , i f n = X + X + 1,
b
b
unde n ∈ N, n ≥ 3.
a) Determinat , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f 5 la polinomul g.
b) Pentru n ≥ 3, demonstrat , i c˘a restul ˆımp˘art , irii polinomului f n la polinomul h
nu depinde de n.
c) Descompunet , i polinomul f 4 ˆın factori ireductibili peste Z 2 .