Page 78 - RMGO 1

˘
˘
78 Costel BALCAU
a) Determinat , i valorile lui m pentru care sistemul este compatibil determinat.
b) Determinat , i valorile lui m pentru care sistemul este incompatibil.
c) Ar˘atat , i c˘a dac˘a sistemul are o solut , ie (x 0 , y 0 , z 0 ) astfel ˆıncˆat x 0 + y 0 + z 0 = 0,
atunci m + 12y 0 = 0.
√
n
n
2. Pe mult , imea R se defines , te legea de compozit , ie x ∗ y = n x + y , ∀x, y ∈ R, unde
∗
n ∈ N \ {1} este o constant˘a.
a) Demonstrat , i c˘a legea ,,∗” este asociativ˘a.
b) Determinat , i valorile lui n pentru care legea ,,∗” are element neutru.
c) Ar˘atat , i c˘a num˘arul n ∗ n ∗ . . . ∗ n este irat , ional, pentru orice num˘ar natural n,
| {z }
n de n
n ≥ 2.

SUBIECTUL al III-lea
ln(x + 1)
1. Se consider˘a funct , ia f : (−1, +∞) \ {0} → R, f(x) = .
x
a) Determinat , i asimptotele graficului funct , iei f.
b) Demonstrat , i c˘a funct , ia f este strict descresc˘atoare.
c) Demonstrat , i c˘a 2017 2015 < 2016 2016 .
√
π 2 2 2
2. Se consider˘a funct , iile f : 0, → R, f(x) = sin x + 2x cos x s , i
2
√
π 2
F : 0, → R, F(x) = x sin x .
2
a) Ar˘atat , i c˘a funct , ia F este o primitiv˘a a funct , iei f.
√
π

3
b) Calculat , i 2 Z f(x)F (x) dx.
0
c) Calculat , i aria suprafet , ei plane delimitate de graficele funct , iilor f s , i F.

Testul 3

SUBIECTUL I

1. Calculat , i suma primilor zece termeni ai unei progresii geometrice (a n ) n≥1 , s , tiind c˘a
a 2 + a 5 = 54 s , i a 3 + a 4 = 36.
2
2. Determinat , i num˘arul m ∈ R, s , tiind c˘a ecuat , ia (m − 2)x + (6 − 3m)x + 5 = 0 are
cel put , in o solut , ie x ∈ R.
2
6
4
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia lg (x ) − 2 lg(x ) + 2 = 0.
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand una dintre submult , imile nevide ale mult , imii
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, aceasta s˘a aib˘a suma elementelor un num˘ar par.