Page 74 - RMGO 1

74 Mihai Florea DUMITRESCU

Testul 5

SUBIECTUL I

1. Se consider˘a progresia geometric˘a (b n ) n≥1 . Aflat , i produsul primilor 7 termeni ai
progresiei, s , tiind c˘a b 4 = 2.
2. Determinat , i num˘arul real a, s , tiind c˘a ecuat , ia axei de simetrie a reprezent˘arii grafice
2
a funct , iei f : R → R, f(x) = x + ax + 2 este x = 4.
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (5 + 2) = 3.
3
4. Determinat , i probabilitatea ca, alegˆand o submult , ime cu cel mult dou˘a elemente din
mult , imea {1, 2, 3, . . . , 9}, aceasta s˘a cont , in˘a cifra 1.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctul A(2, 3) s , i dreapta h de ecuat , ie
x + y − 4 = 0. Determinat , i distant , a de la punctul A la dreapta h.

6. Un triunghi ABC are laturile AB = 5, AC = 7 s , i BC = 10. Aflat , i raza cercului
ˆınscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL al II-lea

a 0 1 1
1. Se consider˘a matricele A = s , i B = unde a, b sunt numere
0 b 1 1
reale.
t
t
(a) Ar˘atat , i c˘a AB = (BA) , oricare ar fi numerele reale a s , i b, unde X este
transpusa matricei X.
(b) Ar˘atat , i c˘a dac˘a det(AB − BA) = 0, atunci a = b.
2
2
(c) Ar˘atat , i c˘a det [(a + b) A − abI 2 ] = a · b , pentru orice numere reale a s , i b.
3
2
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + 2aX + 2a X + 1, unde a este un num˘ar real, s , i
fie x 1 , x 2 , x 3 r˘ad˘acinile sale.
2
(a) Aflat , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul X − 1.

1 1 1 1 1 1
(b) Ar˘atat , i c˘a + · + · + = −1.
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1 2 1 3 2 3
(c) Pentru a = 1, calculat , i suma |x 1 | + |x 2 | + |x 3 |.
SUBIECTUL al III-lea

1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = e −x + x + 1.
f(x) − f(1)
(a) Calculat , i lim .
x→1 x − 1
(b) Determinat , i asimptota oblic˘a spre +∞ la graficul funct , iei f.
1
(c) Ar˘atat , i c˘a ≥ −x + 1, pentru orice num˘ar real x.
e x