Page 79 - RMGO 1

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘a 79
ˆ
5. In planul triunghiului ABC se consider˘a punctele M, N s , i P astfel ˆıncˆat
−−→ −−→ −−→ −−→
AM = MB, AN = 2NC s , i {P} = MN ∩ BC. Demonstrat , i c˘a punctul C este
mijlocul segmentului [BP].
2015π 2015π
6. Calculat , i cos + sin − .
3 6

SUBIECTUL al II-lea

 
m 1 1
1. Se consider˘a matricea A(m) =  1 2m − 1 1  , unde m ∈ R.
1 1 m

a) Calculat , i (A(1)) 2017 .
b) Determinat , i valorile lui m pentru care rang A(m) = 2.
c) Ar˘atat , i c˘a exist˘a o infinitate de matrice X ∈ M 3 (R) care verific˘a relat , ia
A(1) · X = A(1).
10
2. Se consider˘a polinomul f = (X + a) 10 − (X + 1) , unde a ∈ R.
a) Determinat , i a, s , tiind c˘a f este divizibil cu X.
2
b) Pentru a = −1, calculat , i restul ˆımp˘art , irii lui f la X − 1.
c) Pentru a 6= 1, demonstrat , i c˘a f nu are r˘ad˘acini duble.

SUBIECTUL al III-lea
e x
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = s , i s , irul (a n ) n≥1 definit prin a 1 = 1,
1 + e x
∗
a n+1 = f(a n ), ∀ n ∈ N .
a) Demonstrat , i c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare s , i m˘arginit˘a.
b) Demonstrat , i c˘a s , irul (a n ) n≥1 este convergent.

1 2
c) Demonstrat , i c˘a lim a n ∈ , .
n→∞ 2 3

n
2. Se consider˘a s , irurile (I n ) n≥1 s , i (J n ) n≥1 , definite prin I n = e Z (1 − ln x) dx,
1
1 Z
n x
∗
J n = (1 − x) e dx, oricare ar fi n ∈ N .
0
∗
a) Ar˘atat , i c˘a I n+1 = (n + 1)I n − 1, pentru orice n ∈ N .
∗
b) Ar˘atat , i c˘a I n = J n , pentru orice n ∈ N .
√
√
√ 3 n 3 n !
2
(n − 1) 3 n e + (n − 2) e + . . . + 1 e n−1
c) Calculat , i lim .
n→∞ n 4