Page 80 - RMGO 1

˘
˘
80 Costel BALCAU
Testul 4

SUBIECTUL I
√ √
p p
3
1. Demonstrat , i c˘a num˘arul a = 6 − 4 2 + 7 + 5 2 este natural.
3
2. Funct , ia f : C → C, f(x) = x este bijectiv˘a?
x
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 5 − 3 = 2 x+2 .
4. Determinat , i num˘arul de numere naturale pare de trei cifre distincte.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(−2, 0), B(0, 3) s , i C(5, 0). Fie G
centrul de greutate al triunghiului ABC. Calculat , i distant , a de la punctul G la
dreapta AC.
◦
◦
6. Se consider˘a un triunghi ABC cu m(^A) = 40 s , i m(^B) = x , unde x ∈ R.
Determinat , i valorile lui x pentru care AB ≥ AC.
SUBIECTUL al II-lea

2x + 3y + z = 7

1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii x − 2y + 2z = b , unde a, b ∈ R.

3x + y + az = 2

a) Calculat , i determinantul matricei sistemului.
b) Determinat , i valorile lui a s , i b pentru care sistemul este compatibil.
c) Determinat , i valorile naturale ale lui a s , i b pentru care sistemul are o solut , ie
(x, y, z) cu proprietatea c˘a x, y s , i z sunt, ˆın aceast˘a ordine, termeni consecutivi
ai unei progresii aritmetice.

a 2b
2
2
2. Se consider˘a mult , imea G = a, b ∈ Z, a − 10b = 1 .

5b a
a) Ar˘atat , i c˘a I 2 ∈ G s , i O 2 6∈ G.
b) Demonstrat , i c˘a (G, ·) este grup abelian.
c) Ar˘atat , i c˘a mult , imea G este infinit˘a.
SUBIECTUL al III-lea

x 2 x 3
1. Se consider˘a funct , ia f : (−1, +∞) → R, f(x) = ln(1 + x) − x + − .
2 3
0
f(x) + f (x)
a) Calculat , i lim .
x→0 x 3
b) Determinat , i punctele de extrem s , i imaginea funct , iei f.
√ √
c) Demonstrat , i c˘a 125 e > 12 1,1.
π sin x π
h i h i
2. Se consider˘a funct , iile f : 0, → R, f(x) = s , i g : 0, → R,
2 sin x + cos x 2
cos x
g(x) = .
sin x + cos x