Page 85 - RMGO 1

PROBLEME PROPUSE 85

Clasa a VIII-a

MGO 16. a) Determinat , i cel mai mare num˘ar ˆıntreg n cu proprietatea c˘a expresia
2
2 2 2
2
2
2
2
2
a b c (a − b )(b − c )(c − a ) se divide cu n pentru orice numere ˆıntregi a, b s , i c.
3
3
3
3
3
3 3 3
3
b) Aceeas , i cerint , ˘a pentru expresia a b c (a − b )(b − c )(c − a ).
Costel Anghel, Slatina s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
ˆ
MGO 17. Intr-o piramid˘a triunghiular˘a regulat˘a distant , a de la centrul bazei la una
din fet , ele laterale este egal˘a cu 10 dm, iar m˘asura unghiului diedru dintre baz˘a s , i o fat , ˘a
◦
lateral˘a este egal˘a cu 30 . Calculat , i:
a) Aria lateral˘a s , i volumul piramidei;
b) Distant , a de la centrul bazei la ortocentrul unei fet , e laterale.
Florea Badea, Scornices , ti

∗
1
MGO 18. Determinat , i x ∈ R astfel ˆıncˆat min |x| , > x − 1 .

x x

Aurel Chirit ,˘a, Slatina s , i Lucian Tut ,escu, Craiova
0
0
0
0
0
0
0
0
MGO 19. Se consider˘a cubul ABCDA B C D s , i punctele M ∈ (A D ), N ∈ (D C ) s , i
0
0
0
0
P ∈ (BC) astfel ˆıncˆat A M = MD , ND = 2NC s , i PC = 3PB. S , tiind c˘a AB = a,
determinat , i:
0
a) Distant , a de la punctul D la planul (MNP);
b) Sinusul unghiului dintre planele (ABC) s , i (MNP).
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
2
2
2
MGO 20. Dac˘a a, b, c > 0 s , i a + b + c = 1, demonstrat , i c˘a are loc inegalitatea
1 1 1 1
+ + ≤ .
a + b a + c b + c 2abc
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
Clasa a IX-a
2
2
MGO 21. Rezolvat , i ˆın R × R ecuat , ia (x − 3x + 3)(y + 5y + 7) = 3(x − 2)(y + 3).
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 22. Ar˘atat , i c˘a ˆın orice triunghi ascut , itunghic ABC are loc inegalitatea
√ √ √ √
2 (a + b + c) cos A cos B cos C ≤ bc cos A + ca cos B + ab cos C
(notat , iile fiind cele obis , nuite).
Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i Cristinel Mortici, Tˆargovis , te