Page 86 - RMGO 1

86 PROBLEME PROPUSE

MGO 23. Fie a, b, c, d > 0 s , i e ≥ 2. Demonstrat , i c˘a
a b c d e + 1
+ + + < .
ea + b eb + c ec + d ed + a e
Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 24. Calculat , i
2 2 2
max abc(1 + a )(1 + b )(1 + c ) | a, b, c ∈ [0, +∞), a + b + c = 3 .
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
MGO 25. Fie paralelogramul ABCD cu AB = 4, DB = 3 s , i BC = 2. Fie G centrul
de greutate al triunghiului ABD, I centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul DBC, iar P
simetricul lui I fat , ˘a de un punct M de pe dreapta BC. Determinat , i pozit , ia punctului M
astfel ˆıncˆat punctele P, I s , i G s˘a fie coliniare.
Daniela Nadia Taclit, Slatina

Clasa a X-a

ˆ
MGO 26. Intr-o tribun˘a a unui stadion sunt 20000 de spectatori s , i 20000 de veste, unele
albe s , i celelalte ros , ii. Fiecare spectator ˆımbrac˘a o vest˘a, obt , inˆandu-se astfel o imagine a
tribunei, numit˘a coregrafie.

a) Cˆate veste de fiecare culoare trebuie s˘a fie pentru ca num˘arul de coregrafii ce pot fi
realizate s˘a fie maxim?
b) Dar dac˘a vestele sunt de trei culori: albe, ros , ii s , i negre?
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 27. Dac˘a a, b, c ∈ (0, ∞) , atunci are loc inegalitatea:
1 1 1 2 11
+ + + ≥ .
2
2
ab bc ca a + b + c 2 ab + bc + ca
Costel Anghel, Slatina
4
MGO 28. Rezolvat , i ˆın R sistemul

 a + b + c + d = 6
2
2
2
2
a + b + c + d = 12 .
4 (abc + abd + acd + bcd) = 27 + 4abcd

Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin
√
3
3
MGO 29. Fie a > −1. Rezolvat , i ecuat , ia 10 10x + 12 = (a + 1) x − 10ax − 12(a + 1).
Daniel Jinga, Pites , ti
MGO 30. Fie mult , imea Q[i] = {z ∈ C | Re z, Im z ∈ Q}. Determinat , i numerele z ∈ Q[i]
n
∗
pentru care exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat z = 1.
* * *