Page 88 - RMGO 1

88 PROBLEME PROPUSE
2
3
4
MGO 38. Se consider˘a funct , iile polinomiale f, g : R → R , f(x) = 2x −3x +10x −2x+2
2
3
4
s , i g(x) = x + 3x − 3x + 10x − 2. Fie h : R → R o funct , ie polinomial˘a de gradul 4.
S˘a se arate c˘a funct , ia h verific˘a inegalitatea dubl˘a g(x) ≤ h (x) ≤ f (x), ∀ x ∈ R, dac˘a s , i
numai dac˘a exist˘a λ ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆat h(x) = λf (x) + (1 − λ) g (x), ∀ x ∈ R.
George Mihai, Slatina
MGO 39. Dac˘a f : [0, 1] → R este o funct , ie integrabil˘a, ar˘atat , i c˘a are loc inegalitatea
s
Z 1 Z 1 4 √ Z 1
2
f (x) + f(t) dt dx ≤ 2 · f (x) dx.
4
0 0 0
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
MGO 40. Determinat , i grupurile finite G cu proprietatea c˘a reuniunea oric˘aror dou˘a
subgrupuri ale lui G este tot un subgrup al lui G.
* * *