Page 87 - RMGO 1

PROBLEME PROPUSE 87

Clasa a XI-a

MGO 31. Fie permutarea σ ∈ S 2017 cu proprietatea c˘a σ(i) = i + 2 pentru orice
5
i ∈ {1, 2, . . . , 2015}. Ar˘atat , i c˘a exist˘a x ∈ S 2017 astfel ˆıncˆat x = σ.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 32. Se consider˘a num˘arul natural k, k ≥ 2. Calculat , i limita s , irului (a n ) definit
n≥0
q
a
k 2 4
a n−1 n−2
prin a 0 = −1, a 1 = −2 s , i a n = , ∀ n ≥ 2.
a n−2
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 33. Se consider˘a s , irurile (x n ) n≥1 , (y n ) n≥1 s , i (z n ) n≥1 de numere reale pozitive,
x n+1 x 1 + x 2 + . . . + x n
astfel ˆıncˆat lim = 1, y n = s , i z n = max {x 1 , x 2 , . . . , x n }, pentru
n→∞ x n n
y n+1 z n+1
orice n ≥ 1. Ar˘atat , i c˘a lim = 1 s , i lim = 1.
n→∞ y n n→∞ z n
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 34. Demonstrat , i c˘a dac˘a matricele A, B, C ∈ M n (Q) verific˘a relat , ia
2
(B − C) = (A + B)(A + C), atunci det(AB − BA + CA − AC + CB − BC) = 0.
George Mihai, Slatina
MGO 35. Fie f : D → R o funct , ie convex˘a (sau concav˘a), D ⊆ R. Atunci f este continu˘a
pe Int D (unde Int D = {x ∈ R | ∃ V vecin˘atate a lui x a.ˆı. V ⊆ D} reprezint˘a mult , imea
punctelor interioare ale domeniului de definit , ie D).
* * *

Clasa a XII-a

π
Z x
2 e cos x
MGO 36. S˘a se calculeze integrala I = √ π dx.
x
0 1 + 2e sin x +
4
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
∗
MGO 37. Fie a < b s , i n ∈ N . Calculat , i urm˘atoarele integrale:
Z b 1
a) I 1 = 2n+1 dx.
a (x − a) 2n+1 + (x − b)
Z b 1
b) I 2 = 2n 2n dx.
a (x − a) − (x − b)
Z b (x − a) n
c) I 3 = n n dx.
(x − a) + (x − b)
a
Daniel Jinga, Pites , ti