Page 70 - RMGO 1

70 Mihai Florea DUMITRESCU

(c) Aflat , i a ∈ R, s , tiind c˘a x 2 = −i.

SUBIECTUL al III-lea

x 3
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = − ln x + 1.
3
3
x − 1
0
(a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , x ∈ (0, ∞).
x
(b) S˘a se scrie ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 1,
situat pe graficul funct , iei f.
4
(c) S˘a se arate c˘a f(x) ≥ , pentru orice x ∈ (0, ∞).
3
x
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = e + e −x .
(a) Determinat , i primitiva F a funct , iei f, pentru care F(1) = e.
Z 1
(b) Calculat , i xf(x) dx.
0
(c) Determinat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [0, 1] → R, g(x) = f(x).

Testul 2

SUBIECTUL I

1 + i
1. Determinat , i modulul num˘arului complex z = .
i
2
2. Determinat , i valoarea lui x pentru care funct , ia f : R → R, f(x) = −x + 6x − 3 ia
valoarea maxim˘a.
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 + 1 = 2 −x+1 .
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar natural din mult , imea {10, 11, . . . , 30},
acesta s˘a fie format din cifre distincte s , i impare.
− → − → − → − → − → − →
5. Determinat , i num˘arul real a pentru care vectorii u = ai + 2 j s , i v = − i + 3 j
sunt perpendiculari.
1 π
6. Calculat , i sin 2x, s , tiind c˘a sin x = s , i x ∈ 0, .
3 2

SUBIECTUL al II-lea

 
1 x x
1. Se consider˘a matricea A(x) =  2 1 x  , unde x ∈ R.
2 2 1

(a) Ar˘atat , i c˘a pentru orice num˘ar ˆıntreg a, det A(a) este impar.
(b) Ar˘atat , i c˘a pentru orice num˘ar real x, matricea A(x) este inversabil˘a.