Page 72 - RMGO 1

72 Mihai Florea DUMITRESCU

SUBIECTUL al II-lea

x −x
1. Se consider˘a matricea A(x) = , unde x ∈ R.
−x x
(a) Calculat , i det A(1).
(b) Ar˘atat , i c˘a A(x) · A(y) = A(2xy), oricare ar fi x, y ∈ R.
2
(c) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia det(A(x) − x · I 2 ) = 0.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a
x ∗ y = 2xy + 14x + 14y + 91.

(a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = 2(x + 7)(y + 7) − 7.
(b) Aflat , i simetricul lui 1 fat , ˘a de legea ,,∗”.
(c) Rezolvat , i ecuat , ia x ∗ x ∗ x = −3.

SUBIECTUL al III-lea

x
e − 1
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
x
e + 1
2e x
0
(a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = 2 , pentru orice x real.
x
(e + 1)
(b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funct , iei f.
(c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este convex˘a pe intervalul (−∞, 0].
√
2. Fie funct , ia f : (−3, +∞) → R, f(x) = x x + 3.
Z 1 5
2
(a) Ar˘atat , i c˘a f (x) dx = .
0 4
(b) Determinat , i o primitiv˘a F a funct , iei f pentru care F(−2) = 0.
(c) Calculat , i aria suprafet , ei m˘arginite de graficul funct , iei g : (0, +∞) → R,
f(x)
g(x) = √ , axa Ox s , i dreptele x = 1 s , i x = 4.
x x

Testul 4

SUBIECTUL I

1. Determinat , i rat , ia unei progresiei aritmetice (a n ) n≥1 , s , tiind c˘a a 6 = 7 s , i
a 13 = −14.

2
2. Calculat , i (f ◦ f)(0), pentru funct , ia f : R → R, f(x) = −x + x − 1.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 log (x − 2) − log x = 0.
3 3
4. Pret , ul unui obiect s-a redus cu 10%, devenind 711 lei. Care a fost pret , ul init , ial al
produsului?