Page 55 - RMGO 1

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a III-a 55
Clasa a VI-a

1. (a) Determinat , i numerele naturale y pentru care (2y + 3)|6y.
6y
∗
(b) Rezolvat , i ˆın N × N ecuat , ia = 2y + 3.
x
* * *
2
∗
2. S˘a se determine n ∈ N astfel ˆıncˆat n + 2014 s˘a fie divizibil cu n − 1.
* * *
3. Se d˘a 4ABC s , i M ∈ Int 4ABC. Fie AM ∩ BC = {D}; BM ∩ AC = {E};
CM ∩ AB = {F}. M˘asurile unghiurilor ^AMB, ^BMC, ^CMA sunt direct
proport , ionale cu 10, 12 s , i respectiv 14.

(a) Determinat , i m˘asurile unghiurilor ^AMB, ^BMC, ^CMA.
(b) Determinat , i m˘asurile unghiurilor 4ABC s , tiind c˘a M este ortocentrul 4ABC.
(c) Determinat , i m˘asurile unghiurilor 4ABC s , tiind c˘a M este centrul cercului
ˆınscris ˆın 4ABC.
* * *

Clasa a VII-a

q √
2
2
1. (a) Fie N = (2 − x) + |6x − 7| − 7 x , unde x este un num˘ar real s , i x < 0.
Ar˘atat , i c˘a N este p˘atrat perfect.
5x + 3y 2,1 (6) − 3,5 x
(b) Dac˘a = , calculat , i .
7y 0,(18) y
Florea Badea, Scornices , ti

2
2. Numerele ˆıntregi a, b, c verific˘a relat , ia 3 a + c 2 − 6ab + 10ac − 2bc + 13 = 0. S˘a se
calculeze |a + b − c| .
* * *
◦
3. Se consider˘a 4ABC cu m (^BAC) = 135 s , i M mijlocul lui [BC] . S˘a se arate c˘a:
√
AB ⊥ AM ⇔ AC = AB · 2.
Costel Anghel, Bircii

ˆ
◦
4. Fie ABCD un trapez ortodiagonal cu AB k CD, AB > CD, m A = 90 .
2
(a) S˘a se arate c˘a AD = AB · CD.
AB
(b) S˘a se afle , dac˘a perpendiculara din A pe BC intersecteaz˘a pe BD ˆın
CD
DH 1
punctul H s , i = .
HB 2
Costel Anghel, Bircii