Page 57 - RMGO 1

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a III-a 57

(a) Aflat , i AB.
(b) Calculat , i aria unei fet , e laterale.
(c) Dac˘a P este mijlocul lui (OB), {O} = AC ∩ BD s , i M este mijlocul lui (AB),
ar˘atat , i c˘a V D ⊥ PM.
Test propus de Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Bircii

SUBIECTUL al IV-lea

1. Numerele 80157016197 s , i 8181353375 sunt cuburile a dou˘a numere naturale impare
consecutive. S˘a se afle cubul perfect dintre ele.

0
0
0
0
0
0
0
2. Se d˘a cubul ABCDA B C D . Fie M ∈ [AA ], AM = 3MA , N ∈ [BB ],
0
0
0
BN = NB s , i P ∈ [DD ], D P = 3PD. Planul (MNP) intersecteaz˘a muchiile
[BC] s , i [CD] ˆın punctele G respectiv H. Ar˘atat , i c˘a G = H.
Costel Anghel, Bircii
Clasa a IX-a
1. Fie progresia aritmetic˘a (a n ) n≥1 , de rat , ie pozitiv˘a, astfel ˆıncˆat a 1 + a 2 + a 3 = 15 s , i
2
(a 1 − 1)(a 3 + 1) = (a 2 − 1) .
(a) Determinat , i a 1 , a 2 s , i a 3 .
(b) Calculat , i S 48 (suma primilor 48 de termeni ai progresiei date).
(c) Determinat , i a 51 .
* * *
√
2. (a) Numerele reale a s , i b verific˘a relat , ia sin a + sin b = cos a + cos b = 2. S˘a se
calculeze cos(a − b).
4
4
1 sin x + cos x
(b) Dac˘a tg x = calculat , i A = sin 2x, B = cos 4x s , i C = 6 .
2 sin x + cos x
6
* * *
3. (a) Determinat , i valorile reale ale lui a, s , tiind c˘a vˆarful parabolei asociate funct , iei
2
f : R → R, f(x) = x − 2ax + 2, se afl˘a pe prima bisectoare a axelor.
1 1 1 1 3 ∗
(b) Ar˘atat , i c˘a + + + . . . + < , ∀ n ∈ N .
1 · 3 2 · 4 3 · 5 n(n + 2) 4
* * *

4. Fie 4ABC ˆınscris ˆın cercul de centrul O. Dac˘a M, N, P sunt simetricele punctului
O fat , ˘a de dreptele BC, CA respectiv AB, ar˘atat , i c˘a dreptele AM, BN, CP sunt
concurente.
* * *