Page 58 - RMGO 1

58 Mihai Florea DUMITRESCU
Clasa a X-a

1. Rezolvat , i ecuat , iile:
√ √
x
x
(a) (4 + 15) + (4 − 15) = 62.
x
x
x
(b) 4 + 6 = 9 .
* * *
2
2. (a) Dac˘a a, b ∈ (0, ∞) s , i a + b 2 = 7ab, ar˘atat , i c˘a are loc relat , ia
a + b 1
lg = (lg a + lg b).
3 2
(b) Calculat , i N = log 3 · log 4 · log 5 · . . . · log 31 32.
2
3
4
(c) S˘a se determine numerele naturale n pentru care log 1 n + log n n < 0.
3 3
* * *
2
2
3. Se consider˘a ecuat , ia az + bz = a (z) + bz, a, b ∈ R, a 6= 0, z ∈ C.
(a) Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia dat˘a are o infinitate de solut , ii.
(b) Precizat , i mult , imea solut , iilor ecuat , iei date.
* * *

4. Consider˘am punctele A(2, 3), B(a, −4), C(b, −2), a, b ∈ N.
(a) Scriet , i ecuat , ia medianei din A ˆın 4ABC.
(b) Determinat , i numerele a, b s , tiind c˘a ˆın˘alt , imea din vˆarful B al 4ABC trece prin
originea axelor de coordonate.
* * *

Clasa a XI-a

 
x y 1
ˆ
1. Se consider˘a matricea M =  1 2 1  cu x, y, z ∈ R. In reperul cartezian xOy
1 3 1
∗
se consider˘a punctele A(1, 2), B(0, 3), O(0, 0) s , i C n (n + 1, 2 − n), cu n ∈ N .
(a) S˘a se calculeze determinantul matricei M.
(b) S˘a se arate c˘a punctele A, B, C 2 sunt coliniare.
(c) S˘a se determine num˘arul natural n astfel ˆıncˆat aria triunghiului AOC n s˘a fie
minim˘a.
* * *

 
a b c
2. Fie matricea V (a, b, c) =  b c a  , unde a, b, c sunt numere reale.
c a b

(a) S˘a se calculeze det(V (1, 2, 3)).
(b) S˘a se arate c˘a det(V (a, b, c)) = det(V (c, b, a)), ∀ a, b, c ∈ R.