Page 51 - RMGO 1

Prezentarea Concursului MGO, Edit , ia a II-a 51
√
x n n
3. Fie s , irul (x n ) , n ≥ 1.
n≥1 definit prin x 1 = 1 s , i x n+1 = p 2
n(x + x n + 1) + 1
n
(a) Calculat , i x 2 s , i x 3 .
(b) Determinat , i termenul general al s , irului.
Florin Rotaru, Focs , ani, G.M.-B nr. 1/2013

Clasa a X-a

x
x
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = (a + 1) − a , a > 1.
(a) Determinat , i a > 1, astfel ˆıncˆat A(2, 5) ∈ G f .
(b) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare.
x
x
(c) Rezolvat , i ecuat , ia 3 = 2 + 1.
Florea Badea, Scornices , ti
ˆ
2. In planul cartezian xOy se consider˘a punctele A(1, −2), B(m, −2), C(5, 4) s , i D(1, 4),
unde m este un numˇar real, m > 1.

(a) Scriet , i ecuat , ia dreptei AC.
(b) Determinat , i ecuat , ia mediatoarei segmentului [AC].
(c) Aflat , i m ∈ R, astfel ˆıncˆat punctele D, B s , i mijlocul segmentului [AC] s˘a fie
coliniare.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

2
2
2
3. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1, z 1 +z 2 +z 3 6= 0 s , i z +z +z = 0.
3
2
1
Demonstrat , i c˘a:
2
(a) |z| = z · z, ∀z ∈ C.
(b) z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 1 z 3 = z 1 z 2 z 3 (z 1 + z 2 + z 3 ).
(c) |z 1 + z 2 + z 3 | = 2.
Costel Anghel, Bircii

Clasa a XI-a

 
1 0 1
1. Fie matricea A =  0 0 0  ∈ M 3 (R).
1 0 1

(a) Calculat , i det(A + 3I 3 ).
5
(b) S˘a se verifice dac˘a A + 4A = O 3 .
5
9
(c) S˘a se calculeze A + A + A + . . . + A 2013 .
Florea Badea, Scornices , ti