Page 38 - RMGO 1

Numere p-adice. Aplicatii (I)
,

Stelian Corneliu ANDRONESCU 1

Numerele p-adice au fost inventate de c˘atre matematicianul german Kurt Hensel. Un
m
∗
avantaj al folosirii lor este tratarea simultan˘a a congruent , elor modulo p , m ∈ N .
Conceptul de num˘ar p-adic constituie o leg˘atur˘a important˘a ˆıntre aritmetic˘a s , i analiz˘a
matematic˘a. Analiza p-adic˘a este o disciplin˘a de frontier˘a, avˆand numeroase aplicat , ii ˆın
teoria numerelor, geometrie s , i fizic˘a.
ˆ
Pe parcursul mai multor articole ne propunem s˘a discut˘am despre numere p-adice. In
aceast articol vom defini not , iunea de valuare p-adic˘a precum s , i inelul ˆıntregilor p-adici.
ˆ In cele ce urmeaz˘a consider˘am un num˘ar prim p fixat.
Observat ,ia 1. Dac˘a n este un num˘ar ˆıntreg nenul, atunci n = p m · r, unde m este un
num˘ar natural s , i r este un num˘ar ˆıntreg ce nu se divide cu p.
ˆ
Definit , ia 1. In contextul definit ,iei anterioare, not˘am v p (n) = m. Num˘arul ˆıntreg v p (n)
se numes ,te valuarea p-adic˘a a lui n. Prin convent ,ie, v p (0) = ∞.

2
4
De exemplu, dac˘a p = 3 s , i n = 144 = 2 · 3 , atunci v 3 (144) = 2.
Observat ,ia 2. Evident, v p (n) = 0 dac˘a s , i numai dac˘a p nu ˆıl divide pe n.
Observat ,ia 3. v p (·) are urm˘atoarele propriet˘at , i:
1) v p (ab) = v p (a) + v p (b);

2) v p (a + b) ≥ min {v p (a) , v p (b)};
3) Dac˘a v p (a) 6= v p (b), atunci v p (a + b) = min {v p (a) , v p (b)} .

Putem extinde v p pe mult , imea Q ˆın felul urm˘ator:
Definit , ia 2. Dac˘a a s ,i b sunt numere ˆıntregi, iar b 6= 0, atunci num˘arul ˆıntreg

a

v p = v p (a) − v p (b)
b
a
se numes ,te valuarea p-adic˘a a num˘arului rat ,ional .
b
a c a c

Definit , ia este corect˘a, adic˘a v p = v p pentru = .
b d b d
Aceast˘a extindere p˘astreaz˘a propriet˘at , ile din observat , ia anterioar˘a.
1 Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, corneliuandronescu@yahoo.com

38