Page 40 - RMGO 1

40 Stelian Corneliu ANDRONESCU
2017!
Solut ,ie. Num˘arul n se poate scrie n = . Este clar c˘a n ∈ N s , i 1509!|2017!. Exponentul
1509!
c˘autat este v 7 (n) = v 7 (2017!) − v 7 (1509!). Aplic˘am formula lui Legendre.

2017 2017 2017
v 7 (2017!) = + + = 288 + 41 + 5 = 334,
7 7 2 7 3

1509 1509 1509
v 7 (1509!) = + + = 215 + 30 + 4 = 249,
7 7 2 7 3
as , adar v 7 (n) = 85.
ˆ In continuare ne propunem s˘a d˘am o descriere a inelului ˆıntregilor p-adici.
∗
Definit , ia 3. Fie n ∈ N un num˘ar dat. Definim relat ,ia de echivalent ,˘a modulo
n pe mult ,imea Z astfel: spunem c˘a a este congruent cu b modulo n s ,i not˘am
a ≡ b (mod n), dac˘a s ,i numai dac˘a n| (a − b). Mult ,imea claselor de echivalent ,˘a o vom
nota cu Z n .

Observat ,ia 5. Pentru n ∈ Z, n < 0, relat , ia de congruent , ˘a modulo n se defines , te ˆın mod
analog s , i coincide cu cea modulo |n|.

Prezent˘am ˆıntˆai un exemplu important.
∗
n
2
Aplicat , ia 5. Fie n ∈ N . S˘a se rezolve congruent ,a a ≡ 2 (mod 7 ).
2
Solut ,ie. Pentru n = 1, congruent , a a ≡ 2 (mod 7) are dou˘a solut , ii:
a 0 ≡ 3 (mod 7) s , i a 0 ≡ 4 (mod 7) . (1)
Fie acum n = 2. Din
2
a ≡ 2 mod 7 2 (2)
2
rezult˘a c˘a a ≡ 2 (mod 7), adic˘a solut , iile congruent , ei (2) trebuie s˘a fie de forma a 0 +
7t 1 , unde a 0 este unul dintre numerele determinate de congruent , a (1). Vom c˘auta
solut , ii de a forma a 1 = 3 + 7 · t 1 (solut , iile de forma 4 + 7 · t 1 se examineaz˘a ˆın acelas , i
2
ˆ
mod). Inlocuind ˆın (2) aceast˘a expresie a lui a 1 , obt , inem (3 + 7t 1 ) ≡ 2 mod 7 2 ⇒
2 2
9 + 6 · 7t 1 + 7 t ≡ 2 mod 7 2 ⇒ 1 + 6t 1 ≡ 0 (mod 7) ⇒ t 1 ≡ 1 (mod 7). Se obt , ine astfel
1
2

solut , ia a 1 ≡ 3 + 7 · 1 mod 7 .
2 2 2 3
Analog, pentru n = 3 consider˘am a 2 = a 1 +7 ·t 2 s , i avem 3 + 7 + 7 t 2 ≡ 2 mod 7

2
4 2
⇒ 100 + 20 · 7 t 2 + 7 t ≡ 2 mod 7 3 ⇒ t 2 ≡ 2 (mod 7). Se obt , ine astfel solut , ia
2
3

2
a 2 ≡ 3 + 7 · 1 + 7 · 2 mod 7 .
Algoritmul poate fi prelungit la infinit. Se obt , ine astfel s , irul
a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . (3)
n
2
cu propriet˘at , ile a 0 ≡ 3 (mod 7), a n ≡ a n−1 (mod 7 ), a ≡ 2 mod 7 n+1 .
n
Algoritmul construirii s , irului (3) amintes , te de cel al extragerii r˘ad˘acinii p˘atrate
√
ˆ
din 2. Intr-adev˘ar, calculul lui 2 const˘a ˆın construirea unui s , ir de numere rat , ionale
1

2
r 0 , r 1 , . . . , r n , . . . ale c˘aror p˘atrate sunt oricˆat de apropiate de 2, de exemplu r − 2 < .
n

10 n
ˆ In cazul de fat , ˘a se construies , te s , irul de numere ˆıntregi a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . pentru care a −2
2
n
se divide prin 7 n+1 . Aceast˘a analogie devine s , i mai pregnant˘a dac˘a convenim a numi