Page 42 - RMGO 1

42 Stelian Corneliu ANDRONESCU

Definit , ia 7. Seria (5) se numes ,te reprezentarea p-adic˘a a ˆıntregului p-adic ˆα.
Observat ,ia 8. Identificˆand ˆα cu reprezentarea sa p-adic˘a, putem scrie
2
O p = a 0 + a 1 p + a 2 p + . . . : 0 ≤ a n ≤ p − 1, a n ∈ N, (∀) n ∈ N .
Aplicat , ia 6. S˘a se determine reprezentarea p-adic˘a a num˘arului -1.

1 2 n
Solut ,ie. Avem urm˘atoarea reprezentare p-adic˘a = 1 + p + p + . . . + p + . . .
1 − p
p − 1 2 n
s , i de aici −1 = = (p − 1) + (p − 1) p + (p − 1) p + . . . + (p − 1) p + . . . .
1 − p
2
n
De exemplu, pentru p = 7 : −1 = 6 + 6 · 7 + 6 · 7 + . . . + 6 · 7 + . . . .
Definit , ia 8. Pe O p introducem urm˘atoarele dou˘a operat ,ii de adunare, respectiv
ˆ
\
inmult ,ire: dac˘a ˆα = (α 0 , α 1 , . . .) s ,i β = (β 0 , β 1 , . . .), atunci
\
ˆ
ˆ
\
\
ˆ α + β = (α 0 + β 0 , α 1 + β 1 , . . .), ˆ α · β = (α 0 · β 0 , α 1 · β 1 , . . .).
Cu aceste operat , ii O p este un inel comutativ [3].
Elementul nul, respectiv elementul unitate sunt
\
\
0 = (0, 0, . . . , 0, . . .), 1 = (1, 1, . . . , 1, . . .).
\
Funct , ia i : Z → O p , i (a) = (a, a, . . . , a, . . .) este un morfism injectiv de inele.
n
2
Dac˘a a = a 0 + a 1 p + a 2 p + . . . + a n p , cu a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, atunci
n
2
seria asociat˘a lui i (a) este α = a 0 + a 1 p + a 2 p + . . . + a n p + 0p n+1 + . . . , adic˘a pe N
morfismul i este chiar reprezentarea ˆın baza p a numerelor naturale.
Mult , imea unit˘at , ilor din O p este
U(O p ) = {ˆα : α 0 = a 0 este prim cu p} .

ˆ In [1] se arat˘a c˘a orice element ˆα ∈ O p , ˆα 6= 0 se reprezint˘a unic sub forma

2
ˆ α = p m a 0 + pa 1 + p a 2 + . . . cu m ∈ N, a n ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, (∀) n ∈ N s , i (a 0 , p) = 1,
m
a 0 6= 0. Altfel spus, ˆα = p · ε, unde ε ∈ U(O p ) s , i m ∈ N.
Definit , ia 9. Pentru orice num˘ar ˆıntreg p-adic nenul ˆα = p m · ε, unde ε ∈ U(O p ) s ,i
m ∈ N, not˘am v p (ˆα) = m. Num˘arul ˆıntreg v p (ˆα) se numes ,te valuarea p-adic˘a a lui ˆα.
Prin convent ,ie, v p (0) = ∞.

ˆ
Inelul O p nu cont , ine divizori ai lui 0. Intr-adev˘ar, dac˘a bα 6= 0 s , i β 6= 0, atunci avem
b
ˆ
ˆ
k
m
reprezent˘arile ˆα = p · ε, β = p · η, unde m, k ∈ N, iar ε s , i η sunt unit˘at , i. Dac˘a ˆα · β = 0
atunci p m+k · ε · η = 0 s , i ˆınmult , ind cu ε −1 · η −1 obt , inem p m+k = 0, fals.
Inelul O p este un domeniu de integritate s , i un inel principal, iar idealele sale nenule
sunt generate de puterile lui p [1].
Divizibilitatea numerelor ˆıntregi p-adice se defines , te, ca ˆın orice inel, astfel:
ˆ
ˆ
Definit , ia 10. Fie ˆα, β ∈ O p . Spunem c˘a ˆα se divide cu β dac˘a exist˘a ˆγ ∈ O p astfel
ˆ
ˆıncˆat ˆα = β · ˆγ.