Page 41 - RMGO 1

Numere p-adice. Aplicat , ii (I) 41

dou˘a numere ˆıntregi p-apropiate, p fiind un num˘ar prim oarecare, dac˘a diferent , a lor se
ˆ
divide la o putere suficient de mare a lui p. Int , elegˆand astfel apropierea, se poate spune
c˘a p˘atratele numerelor din s , irul (3) devin oricˆat de 7-apropiate de 2 cˆand n cres , te.
√
S , irul (r n ) defines , te num˘arul real 2. Se poate presupune c˘a s , irul (3) defines , te de
n
2
asemenea un num˘ar α, de o anumit˘a natur˘a, astfel ˆıncˆat α = 2.
1
0
0
Dac˘a s , irul de numere rat , ionale (r ) are proprietatea c˘a |r n − r | < , oricare ar
n n n n
√ 10
0
fi n, atunci limita sa va fi de asemenea 2. Este natural s˘a presupunem c˘a s , irul (a )
n n
0

pentru care a n ≡ a 0 n mod 7 n+1 determin˘a acelas , i nou num˘ar. Pentru s , irul (a ) avem,
n n
n
0
de asemenea, c˘a a 0 2 n ≡ 2 mod 7 n+1 s , i a ≡ a 0 n−1 (mod 7 ).
n
Dup˘a acest exemplu intuitiv, putem acum s˘a definim inelul ˆıntregilor p-adici.
Definit , ia 4. Fie p un num˘ar prim s ,i
N
Z = {α = (α 0 , α 1 , . . . , α n , . . .) : α n ∈ Z, (∀) n ∈ N} .
Pe Z definim relat ,ia ∼ astfel:
N
α ∼ β ⇔ α n ≡ β n mod p n+1 , (∀) n ∈ N
(unde β = (β 0 , β 1 , . . . , β n , . . .)).
Observat ,ia 6. Evident, relat , ia ∼ este o relat , ie de echivalent , ˘a. Mai mult, considerˆand
submult , imea
n+1
N
N
M = α ∈ Z : α n ≡ α n+1 mod p , (∀) n ∈ N ⊂ Z ,
atunci urma relat , iei ∼ definite pe M este tot o relat , ie de echivalent , ˘a.
Definit , ia 5. Not˘am cu O p = M/ ∼= {ˆα : α ∈ M} mult ,imea claselor de echivalent ,˘a s ,i o
numim mult ,imea ˆıntregilor p-adici.
Definit , ia 6. Un s ,ir α = (α 0 , α 1 , . . . , α n , . . .) ∈ M se numes ,te reprezentant canonic
pentru ˆα dac˘a α n ∈ [0, p n+1 ) pentru orice n ∈ N.
Observat ,ia 7. Evident, orice clas˘a de echivalent , a din O p admite un unic reprezentant
canonic.

Mai mult, fie α = (α 0 , α 1 , . . . , α n , . . .) ∈ M un reprezentant canonic pentru ˆα. Deoarece
2
α ∈ M, avem α 0 = a 0 , α 1 = a 0 + pa 1 , α 2 = a 0 + pa 1 + p a 2 , . . .,
2
n
α n = a 0 + pa 1 + p a 2 + . . . + p a n , (∀) n ∈ N, (4)
2
cu a n ∈ Z, (∀) n ∈ N. Evident, a 0 = α 0 ∈ [0, p). Apoi 0 ≤ α 0 < p s , i 0 ≤ α 1 < p , deci
2
−p < α 1 − α 0 < p , prin urmare a 1 = α 1 − α 0 ∈ [0, p). Analog se arat˘a c˘a
p
a n ∈ [0, p), (∀) n ∈ N.

Rezult˘a c˘a (4) este chiar reprezentarea ˆın baza p a lui α n .
Deci ˆα = (a 0 , a 0 + a 1 p, a 0 + a 1 p + a 2 p , . . .) s , i astfel putem asocia ˆıntregului p-adic ˆα
\
2
seria
n
2
a 0 + a 1 p + a 2 p + . . . + a n p + . . . , cu a n ∈ [0, p), a n ∈ N, (∀) n ∈ N. (5)