Page 37 - RMGO 1

Asupra unor limite de s , iruri 37
√ √
√ n 2n n n 2n n
notˆand x n = n n! − s , i y n = , pentru orice n ≥ 2, avem
e e
(n + 1) 2 n 2
b n = −
x n+1 + y n+1 x n + y n
2
n (x n − x n+1 + y n − y n+1 ) + (2n + 1)(x n + y n )
=
(x n + y n )(x n+1 + y n+1 )
n 2
= · (x n − x n+1 ) + (y n − y n+1 )
y n y n+1 1 + x n 1 + x n+1
y n y n+1

1 x n y n
+ 2 + + ,
n n n
deci

ln(2π) ln(2π) 2
2
lim b n = e − + lim (y n − y n+1 ) +
n→∞ 2e 2e n→∞ e
√
√
2 (n + 1) n + 1 n n
2n+2 2n
2
= e − lim − .
e n→∞ e e
Dar, conform demonstrat , iei de la aplicat , ia 3, avem
√
2n+2 √
(n + 1) n + 1 n 2n n 1
lim − =
n→∞ e e e

2 1
s , i astfel rezult˘a c˘a lim b n = e 2 − = e.
n→∞ e e
Bibliografie
[1] D.M. B˘atinet , u-Giurgiu, Problema C890, Gazeta Matematic˘a seria B, nr. 4/1989, p. 139.

[2] M. B˘atinet , u-Giurgiu, D.M. B˘atinet , u-Giurgiu, Asupra unei note din revista ”Recreat ,ii
matematice”, Recreat , ii Matematice, nr. 1/2008, pg. 35–37.
[3] O. Cˆarj˘a, Un procedeu de calcul al limitelor unor s , iruri de forma (a n+1 − a n) n≥1, Recreat , ii
Matematice, nr. 2/2003, pg. 23–24.
[4] T. Lalescu, Problema 579, Gazeta Matematic˘a, nr. 6/1900, p. 148.

[5] H. Robbins, A remark on Stirling’s formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 62,
No. 1 (Jan. 1955), pg. 26–29.