Page 32 - RMGO 1

Inegalit˘ati reductibile la functii cubice
,
,

1
Leonard GIUGIUC s , i Cristinel MORTICI 2

ˆ In acest articol vom ar˘ata cum se poate reduce demonstrarea unor inegalit˘at , i la studiul
unor funct , ii cubice. Considerat , iile noastre constituie s , i o metod˘a de a stabili noi astfel de
inegalit˘at , i.
Cercet˘arile se bazeaz˘a pe urm˘atoarea:
3
Teorema 1. Fie m, n ∈ R, m ≥ 0 s ,i funct ,ia cubic˘a f : R → R, f (x) = x − 3mx + n.
3
2
Atunci ecuat ,ia f (x) = 0 are trei solut ,ii reale dac˘a s ,i numai dac˘a 4m > n .
Aceasta este o consecint , ˘a a teoremei lui Rolle din analiza matematic˘a. Mai precis,
√
graficul funct , iei f are puncte critice ˆın ± m si ecuat , ia f (x) = 0 are trei solut , ii reale dac˘a
√
√
s , i numai dac˘a f (− m) > 0 s , i f ( m) < 0.
2
3
Mai mult, relat , ia 4m ≥ n este o condit , ie necesar˘a s , i suficient˘a ca polinomul asociat
f s˘a aib˘a toate r˘ad˘acinile reale (nu neap˘arat diferite).
Suntem ˆın m˘asur˘a acum s˘a prezent˘am rezultatele principale.
Aplicat , ia 1. Fie numerele reale a, b, c > 0, cu a + b + c = 1. S˘a se demonstreze c˘a
1 1 1
+ + + 48 (ab + bc + ca) ≥ 25.
a b c
Cˆand are loc egalitatea?

Solut ,ie. Not˘am 3a = u, 3b = v s , i 3c = t. Atunci u + v + t = 3 s , i inegalitatea devine:
3 3 3 16
+ + + (uv + vt + tu) ≥ 25.
u v t 3
2
Dar (u + v + t) ≥ 3 (uv + vt + tu). Notˆand uv + vt + tu = 3s, obt , inem c˘a 0 < s ≤ 1.
Deci avem de demonstrat c˘a 9s ≥ p (25 − 16s), unde p = uvt. De asemenea, numerele u, v
s , i t sunt r˘ad˘acinile ecuat , iei cubice
2
3
y − 3y + 3sy − p = 0.
Efectuˆand substitut , ia y = x + 1 vom avea ecuat , ia cubic˘a echivalent˘a

3
x − 3 (1 − s) x + 3s − 2 − p = 0.
Aplic˘am teorema pentru m = 1 − s s , i n = 3s − 2 − p s , i obt , inem

3 3
3s − 2 − 2(1 − s) ≤ p ≤ 3s − 2 + 2(1 − s) .
2
2
1 Profesor, Colegiul Nat ,ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
2 Prof. univ. dr. habil., Universitatea ,,Valahia” din Tˆargovis , te, cristinel.mortici@hotmail.com
32