Page 27 - RMGO 1

Cˆateva aplicat , ii ale not , iunii de arie 27
A

B¢
C¢
P

C
B A¢

0
0
Demonstrat¸ie. Triunghiurile AA B s , i AA C au aceeas , i ˆın˘alt , ime din A s , i deci
0
0
A(4AA B) A B
= .
0
0
A(4AA C) A C
0
Triunghiurile AA B s , i APB au aceeas , i ˆın˘alt , ime din B s , i deci
0
A(4AA B) AA 0
= .
A(4APB) AP
0
Triunghiurile AA C s , i APC au aceeas , i ˆın˘alt , ime din C s , i deci
0
A(4AA C) AA 0
= .
A(4APC) AP
Din ultimele dou˘a relat , ii deducem c˘a
0
0
A(4AA B) A(4AA C)
=
A(4APB) A(4APC)
s , i deci
0
A(4AA B) A(4APB)
= .
0
A(4AA C) A(4(APC)
Prin urmare
0
A B A(4APB)
= .
0
A C A(4APC)
Complet analog obt , inem c˘a
0
0
B C A(4BPC) C A A(4APC)
= ; = .
0
0
B A A(4APB) C B A(4BPC)
ˆ Inmult , ind aceste ultime trei relat , ii obt , inem:
0
0
0
A B B C C A A(4APB) A(4BPC) A(4APC)
· · = · · = 1.
0
0
0
A C B A C B A(4APC) A(4APB) A(4BPC)
Observat ,ia 2. O list˘a de probleme care se pot rezolva folosind ariile a ap˘arut de curˆand ca
ˆ
material de preg˘atire pentru una din etapele concursului Viitori Olimpici, clasa a VII-a. In
acest material se d˘a s , i o demonstrat , ie a Teoremei lui Ceva folosind ariile dar, din p˘acate,
demonstrat , ia respectiv˘a este gres , it˘a.