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22 Sorin ULMEANU

Demonstr˘am c˘a 50 ∈ A. Se observ˘a c˘a 50 6= 4x + 1, (∀) x ∈ N, deci analog ca mai sus
trebuie s˘a-l scriem pe 50 sub forma 3y + 2 cu y ∈ N. Cum 50 = 48 + 2 = 3 · 16 + 2, ar
trebui s˘a ar˘at˘am c˘a 2y + 1 = 2 · 16 + 1 = 33 ∈ A. Acest lucru se rezum˘a la a dovedi (din
33 = 4 · 8 + 1) c˘a x = 8 ∈ A, ceea ce s-a demonstrat anterior.
Astfel avem s , irul de implicat , ii:

i) ii)
8 ∈ A ⇒ 4 · 8 + 1 = 33 ∈ A ⇔ 2 · 16 + 1 = 33 ∈ A ⇒ 3 · 16 + 2 = 50 ∈ A.
Problema 3. Fie A o mult ,ime de numere naturale cu propriet˘at ,ile:

1) 22 ∈ A;
2) Dac˘a 9x + 4 ∈ A, atunci x ∈ A;
3) Dac˘a x ∈ A, atunci {9x + 5, 9x + 6} ⊂ A.
S˘a se arate c˘a 2003 s ,i 2004 apart ,in mult ,imii A.
Problema a 3-a, etapa 5, concursul Viitori Olimpici, 2016

 9 · 23 + 5 = 212 ∈ A


2) 3) 9 · 2 + 5 = 23 ∈ A 3) 9 · 23 + 6 = 213 ∈ A
Solut ,ie. 22 = 9 · 2 + 4 ∈ A ⇒ 2 ∈ A ⇒ ⇒
9 · 2 + 6 = 24 ∈ A  9 · 24 + 5 = 221 ∈ A

9 · 24 + 6 = 222 ∈ A


2003 = 9 · 222 + 5 3)
Cum ⇒ {2003, 2004} ⊂ A. Schema de lucru este:
2004 = 9 · 222 + 6
2) 3) 3) 3)
1) ⇒ 22 ∈ A ⇒ 2 ∈ A ⇒ {23, 24} ⊂ A ⇒ 24 ∈ A ⇒ {221, 222} ⊂ A ⇒ 222 ∈ A ⇒
{2003, 2004} ⊂ A.
Problema 4. Fie M o mult ,ime de numere naturale cu propriet˘at ,ile:
a) 3 ∈ M;
2
b) x ∈ M implic˘a x + 1 ∈ M;
c) 3x − 2 ∈ M implic˘a x ∈ M.
Demonstrat ,i c˘a 84101 ∈ M.

Problema 3.4 din [1]
Solut ,ie. Din 3 ∈ M, aplicˆand b) de 4 ori obt , inem succesiv c˘a 10, 101, 10202, 104080805 ∈ M
s , i deja am dep˘as , it num˘arul 84101. Atunci trebuie pornit altfel:
b) c) b) b)
2
2
3 ∈ M ⇒ 10 = 3 + 1 ∈ M ⇔ 10 = 3 · 4 − 2 ∈ M ⇒ 4 ∈ M ⇒ 4 + 1 = 17 ∈ M ⇒
b)
2
2
17 + 1 = 290 ∈ M ⇒ 290 + 1 = 84101 ∈ M.
ˆ In final s˘a vedem o problem˘a dat˘a la faza nat , ional˘a.
Problema 5. O mult ,ime M, format˘a numai din numere naturale, satisface condit ,iile:
i) 1 ∈ M;
ii) Dac˘a x ∈ M, atunci 3x ∈ M;
iii) Dac˘a 5x − 4 ∈ M, atunci x ∈ M.
Demonstrat ,i c˘a 11 ∈ M.

O.N.M. 1989, Liviu Pˆars ,an