Page 26 - RMGO 1

26 Cezar JOIT , A
Concurent , a medianelor

Observat , ia esent , ial˘a pentru a demonstra c˘a medianele unui triunghi sunt concurente
este urm˘atoarea afirmat , ie:

Dac˘a ABC este un triunghi, N este mijlocul laturii (AC), P mijlocul laturii (AB) s ,i
GN 1
G este punctul de intersect ,ie al medianelor BN s ,i CP atunci = .
BN 3
A

P N

G
B C

Demonstrat¸ie. GP este median˘a ˆın triunghiul ABG. De aici rezult˘a (am v˘azut acest lucru
cˆand am discutat despre linia mijlocie) c˘a A(4BPG) = A(4APG).
La fel avem c˘a A(4CNG) = A(4ANG).
Cum BN s , i CP sunt mediane ˆın triunghiul ABC avem c˘a

A(4ABC)
A(4ABN) = = A(4ACP).
2
ˆ In acelasi timp avem:

A(4ABN) = A(4BPG) + A(4APG) + A(4ANG),
A(4ACP) = A(4CNG) + A(4ANG) + A(4APG).
Deci A(4BPG) + A(4APG) + A(4ANG) = A(4CNG) + A(4ANG) + A(4APG) s , i
deci A(4BPG) = A(4CNG).
Cu alte cuvinte avem c˘a A(4BPG) = A(4APG) = A(4CNG) = A(4ANG).
Atunci A(4ABN) = 3A(4ANG).
Cum triunghiurile ABN s , i ANG au aceeas , i ˆın˘alt , ime din A, deducem c˘a
GN A(4ANG) 1
= = .
BN A(4ABN) 3

Teorema lui Ceva

0
0
0
0
Fie triunghiul ABC s ,i A ∈ (BC), B ∈ (AC), C ∈ (AB) astfel ˆıncˆat dreptele AA ,
0
0
BB s ,i CC sunt concurente ˆın punctul P. Atunci
0
0
0
A B B C C A
· · = 1.
0
0
0
A C B A C B