Page 25 - RMGO 1

Cˆateva aplicatii ale notiunii de arie
,
,

Cezar JOIT , A 1

Not , iunea de arie este una fundamental˘a ˆın geometria euclidian˘a plan˘a. Rat , ionamente
care se bazeaz˘a pe calculul ariilor pot fi foarte utile ˆın rezolvarea unor probleme de
gimnaziu.

Vrem s˘a prezent˘am aici demonstrat , ii bazate pe not , iunea de arie a unor rezultate din
manualele de clasa a VI-a s , i a VII-a: linia mijlocie ˆıntr-un triunghi este paralel˘a cu baza,
concurent , a medianelor s , i Teorema lui Ceva.

Linia mijlocie

Fie triunghiul ABC, N mijlocul laturii (AC) s ,i P mijlocul laturii (AB). Atunci
NPkBC.
A

P N

B P¢ M N¢ C

Demonstrat¸ie. Triunghiurile BAN s , i BCN au aceeas , i ˆın˘alt , ime din B iar CN = AN.
Deducem de aici c˘a A(4BAN) = A(4BCN) s , i deci
A(4ABC)
A(4BCN) =
2
(aceasta este de fapt o observat , ie general˘a: mediana unui triunghi ˆıl ˆımparte ˆın dou˘a
A(4ABC)
triunghiuri de aceeas , i arie). Analog obt , inem A(4BCP) = , deci
2
A(4BCN) = A(4BCP).

Cum triunghiurile BCN s , i BCP au BC ca latur˘a comun˘a, deducem c˘a ˆın˘alt , imile lor din
0
0
0
N s , i respectiv P sunt congruente. Dac˘a not˘am aceste ˆın˘alt , imi cu NN s , i PP , unde N ,
0
0
0
P ∈ BC, deducem c˘a patrulaterul NPP N este dreptunghi s , i deci NPkBC.
Observat ,ia 1. Dac˘a M este mijlocul lui BC atunci, analog, avem c˘a MNkAB s , i MPkAC.
BC
De aici obt , inem c˘a PNMB este paralelogram s , i deci NP = BM = .
2
1 Cercet˘ator, I.M.A.R., Cezar.Joita@imar.ro
25