Page 23 - RMGO 1

Probleme cu pas , i pe N 23
2
Solut ,ie. (preluare integral˘a din [1]). Din i) s , i ii) rezult˘a c˘a 3 ∈ M s , i 3 ∈ M s , i mai general
n
3 ∈ M, (∀) n ∈ N.
Pentru ca 11 ∈ M este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a 5 · 11 − 4 = 51 ∈ M, pentru a folosi
n
apoi iii). Deoarece 51 6= 3 , (∀) n ∈ N, deocamdat˘a nu putem afirma c˘a 51 ∈ M, ceea ce
ˆınseamn˘a c˘a trebuie s˘a g˘asim un alt punct pentru a p˘as , i pe mult , imea M.
n
C˘autˆand un num˘ar natural x cu proprietatea c˘a 5x − 4 = 3 , pentru un anume n ∈ N,
4
observ˘am c˘a putem considera x = 17 s , i n = 4, deoarece 5 · 17 − 4 = 81 = 3 . Din condit , ia
4
iii) s , i faptul c˘a 3 ∈ M rezult˘a c˘a 17 ∈ M. Din ii) s , i faptul c˘a 17 ∈ M rezult˘a c˘a
3 · 17 = 51 ∈ M s , i ˆın final deducem c˘a 11 ∈ M.
Observ˘am c˘a ˆın orice astfel de problem˘a este important s˘a g˘asim o valoare ,,bun˘a” de
la care s˘a p˘as , im pe mult , imea respectiv˘a, dar la fel de important este s˘a p˘as , im ,,bine”,
adic˘a s˘a folosim corect ipotezele.
Pentru aprofundarea lucrurilor propun spre rezolvare urm˘atoarele probleme.

Problema 6. Fie M o mult ,ime de numere naturale cu propriet˘at ,ile:
a) 1 ∈ M;
3
2
b) x ∈ M implic˘a x + x − x ∈ M;
c) 3x − 5 ∈ M implic˘a x ∈ M.
Demonstrat ,i c˘a 50 ∈ M.
[1], enunt , modificat

Problema 7. Fie mult ,imea A cu propriet˘at ,ile:
i) 7 ∈ A;
ii) Dac˘a x ∈ A, atunci 5x + 1 ∈ A;
iii) Dac˘a 7x + 6 ∈ A, atunci x ∈ A.
Ar˘atat ,i c˘a 25 s ,i 2251 sunt ˆın mult ,imea A.
S:E17.138, Supliment G.M. nr. 4/2007
Problema 8. Fie A o mult ,ime de numere naturale cu propriet˘at ,ile:

i) 23 ∈ A;
x − 1 x − 3
ii) Dac˘a x ∈ A este num˘ar prim, atunci ∈ A sau ∈ A;
4 4
iii) Dac˘a x ∈ A, atunci 4x ∈ A.
Ar˘atat ,i c˘a 4 2017 ∈ A.
Sorin Ulmeanu
Problema 9. Fie M o mult ,ime de numere ˆıntregi cu propriet˘at ,ile:
a) 1 ∈ M;
2
b) Dac˘a x ∈ M, atunci −2x + x + 1 ∈ M;
c) Dac˘a −x ∈ M, atunci x ∈ M.
Demonstrat ,i c˘a −44 ∈ M.
[1]