Page 21 - RMGO 1

ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE
,

Probleme cu pasi pe N
,

Sorin ULMEANU 1

ˆ In revistele de matematic˘a pentru tineret (s , i nu numai) de la noi din t , ar˘a apar ˆın mod
constant probleme avˆand enunt , ul asem˘an˘ator cu cel al celor prezentate ˆın materialul de
ˆ
mai jos s , i care pentru cei mai put , in experimentat , i pot fi foarte dificile. In cele ce urmeaz˘a
vom prezenta cˆateva modele (scheme) de rezolvare a unor astfel de probleme, accesibile
ˆ
elevilor din clasele a V-a s , i a VI-a. In fiecare din problemele de mai jos se fac ”pas , i” pe
mult , imea N, dup˘a anumite reguli, pentru a se obt , ine rezultatul dorit.
Problema 1. Mult ,imea A de numere naturale are propriet˘at ,ile:
i) 2 ∈ A;

ii) Dac˘a x ∈ A, atunci 4x ∈ A;
iii) Dac˘a 9x + 11 ∈ A, atunci x ∈ A.
Ar˘atat ,i c˘a 13 ∈ A.
E:14941, G.M.-B nr. 1/2016, Nicolae Iv˘as ,chescu
Solut ,ie. Cum 13 /∈ M 4 , pentru a ar˘ata c˘a 13 ∈ A este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a
13 · 9 + 11 = 128 ∈ A, pentru a putea aplica iii).

ii) ii) ii)
2 ∈ A ⇒ 8 = 4 · 2 ∈ A ⇒ 32 = 8 · 4 ∈ A ⇒
128 = 32 · 4 ∈ A ⇔ 128 = 9 · 14 + 2 = 9 · 13 + 11 ∈ A,
deci din iii) obt , inem c˘a 13 ∈ A.

Problema 2. Fie A o mult ,ime de numere naturale cu urm˘atoarele propriet˘at ,i:
i) Dac˘a x ∈ A, atunci 4x + 1 ∈ A;
ii) Dac˘a 2y + 1 ∈ A, atunci 3y + 2 ∈ A;
iii) 5 ∈ A.
Ar˘atat ,i c˘a numerele 8 s ,i 50 se g˘asesc ˆın mult ,imea A.
E:14941, G.M.-B nr. 4/2015, Vasile Scurtu
Solut ,ie. Demonstr˘am c˘a 8 ∈ A. Se observ˘a c˘a 8 6= 4x + 1, (∀) x ∈ N s , i atunci pentru a
ar˘ata c˘a 8 ∈ A ar trebui s˘a g˘asim un y ∈ N astfel ˆıncˆat 8 = 3y + 2. Cum 8 = 3 · 2 + 2
avem c˘a y = 2. Ar trebui s˘a ar˘at˘am c˘a 2y + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 ∈ A, pentru a folosi i).
ˆ Intradev˘ar, din iii) avem 5 = 2 · 2 + 1 ∈ A, deci cu ii) avem c˘a 3 · 2 + 2 = 8 ∈ A.

1 Profesor, Colegiul Nat ,ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, sorinulm@yahoo.com

21