Page 28 - RMGO 1

Relatia lui Sylvester ˆın rezolvarea unor probleme
,
cu numere complexe

Daniel JINGA 1

Ne propunem s˘a punem ˆın evident , ˘a utilitatea relat ,iei lui Sylvester ˆın rezolvarea cu
us , urint , ˘a a anumitor probleme cu numere complexe.
Teorema 1 (relat , ia lui Sylvester). Fat ,˘a de un reper cartezian cu originea O ˆın centrul
cercului circumscris triunghiului ABC, afixul z H al ortocentrului H al triunghiului ABC
este z H = z A + z B + z C unde H(z H ), A(z A ), B(z B ), C(z C ).

Demonstrat¸ie. Fie O 1 punctul diametral opus lui A. Atunci HBO 1 C este paralelogram s , i
= −z A .
rezult˘a z H + z O 1 = z B + z C . Dar O este originea reperului cartezian s , i rezult˘a z O 1
Prin urmare z H = z A + z B + z C .
Observat ,ia 1. Dac˘a reperul cartezian nu are originea ˆın centrul cercului circumscris
triunghiului ABC, relat ,ia lui Sylvester devine

z H = z A + z B + z C − 2z O ,
ˆ
unde z O este afixul centrului cercului circumscris triunghiului ABC. Intradev˘ar,
= z B + z C (1)
z H + z O 1
z A + z O 1
iar z O = , deoarece O este mijlocul lui [AO 1 ]. Se obt , ine z O 1 = 2z O − z A s , i
2
ˆınlocuind ˆın (1) rezult˘a concluzia.
Propozit , ia 1 (caracterizarea triunghiului dreptunghic). Triunghiul ABC ˆınscris
ˆın cercul C(O, R) este dreptunghic dac˘a s ,i numai dac˘a |z A + z B + z C | = R.

Demonstrat¸ie. ”⇒” Dac˘a triunghiul ABC este dreptunghic cu unghiul drept ˆın A s , i
ˆınscris ˆın C(O, R), rezult˘a c˘a B s , i C sunt diametral opuse, deci z B = −z C , de unde
|z A + z B + z C | = |z A | = R.
2
2
2
”⇐” |z A +z B +z C | = R ⇒ |z A +z B +z C | = R ⇒ (z A +z B +z C )(z A +z B +z C ) = R ⇒
2 2 2
R R R 1 1 1
2
(z A + z B + z C ) + + = R ⇒ (z A + z B + z C ) + + = 1.
z A z B z C z A z B z C
Se obt , ine:
z A z A z B z B z C z C
2 + + + + + + = 0 ⇒
z B z C z A z C z A z B
(z A + z B ) 2 z A + z B z C (z A + z B )
+ + = 0 ⇒
z A z B z C z A z B
1 Profesor, Colegiul Nat ,ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, jinga.daniel@yahoo.com
28