Page 30 - RMGO 1

30 Daniel JINGA

b) Calculat ,i S = z 2007 + z 2 2007 + z 2007 .
3
1
Concursul Interjudet , ean ,,Trident”, Br˘aila, 2006
Solut ,ie. |z 1 + z 2 + z 3 | = | − i| = 1 s , i din Aplicat , ia 1 cu r = 1 se obt , ine c˘a dou˘a dintre cele
trei numere complexe sunt opuse s , i cel de-al treilea este −i. Deci la punctul a) produsul
3
este 0 iar la punctul b) S = (−i) 2007 = −i = i.
Aplicat , ia 6. Fie a, b, c, d numere complexe de acelas ,i modul astfel ˆıncˆat a + b + c = d.
Ar˘atat ,i c˘a unul dintre numerele a, b, c este egal cu d.
O.L.M. Bucures , ti 2003, Marcel T , ena
Solut ,ie. Not˘am |a| = |b| = |c| = |d| = r, deci |a + b + c| = |d| = r s , i din Aplicat , ia 1 rezult˘a
concluzia.
∗
Aplicat , ia 7. Fie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C s ,i a ∈ C . Dac˘a |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = |a| s ,i z 1 +z 2 +z 3 = a,
1 1 1
calculat ,i + + .
z 1 z 2 z 3
Concursul Anual al Rezolvitorilor Revistei de Matematic˘a
s , i Informatic˘a din Constant , a, 2003
1
ˆ
Solut ,ie. In Aplicat , ia 1 se consider˘a r = |a| > 0 s , i rezult˘a c˘a suma cerut˘a este .
a
Aplicat , ia 8. Fie z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = |z 3 | = r > 0 s ,i
1 1 1 1
z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0. Calculat ,i + + + , unde n este num˘ar impar.
z n z n z n z n
1 2 3 4
G.M.-B nr. 1/2006, Daniel Jinga
Solut ,ie. z 1 + z 2 + z 3 = −z 4 ⇒ |z 1 + z 2 + z 3 | = | − z 4 | = r s , i din Aplicat , ia 1 rezult˘a c˘a
dou˘a dintre numerele complexe z 1 , z 2 , z 3 sunt opuse. Dar z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0 s , i atunci s , i
celelalte dou˘a sunt opuse. Cum n este impar, suma cerut˘a este 0.
Observat ,ie. a) Trei dintre cele patru numere complexe nu pot fi egale, pentru c˘a de exemplu
3z 1 + z 4 = 0 ⇒ 3z 1 = −z 4 ⇒ |3z 1 | = | − z 4 | ⇒ 3r = r ⇒ r = 0, fals.
b) Dou˘a dintre cele patru numere complexe pot fi egale. Fie de exemplu z 1 = z 2 .
Atunci din Aplicat , ia 1 rezult˘a c˘a z 1 + z 3 = 0, deci s , i z 2 + z 4 = 0, de unde deducem
concluzia s , i de asemenea faptul c˘a z 3 = z 4 .

c) Se poate reformula enunt , ul astfel:
Fie z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C astfel ˆıncˆat |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = |z 3 | = r > 0 s ,i z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0.
Atunci cele patru numere complexe sunt egale dou˘a cˆate dou˘a sau sunt afixele varfurilor
unui dreptunghi.
O.L.M. Arges , 2007
Aplicat , ia 9. Ar˘atat ,i c˘a fat ,˘a de un reper cu originea ˆın centrul cercului circumscris triun-
ghiului ABC, afixul centrului cercului lui Euler al triunghiului ABC este
z A + z B + z C
z ω = .
2
Solut ,ie. ω este mijlocul segmentului [OH], unde H este ortocentrul s , i O centrul cercului
z H z A + z B + z C
circumscris, deci folosind Teorema 1 avem z ω = = .
2 2
Aplicat , ia 10. Fie u, v, w trei numere complexe de modul 1. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a o alegere a
semnelor + s ,i − astfel ˆıncˆat | ± u ± v ± w| ≤ 1.
O.J.M. 2007, Dan Schwarz